Классические методы математической физики - 142 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

(x
0
, y
0
) ∈ Γ
0
Γ
0
u(x
0
, y
0
) > 0
u(x
0
, y
0
) < 0
a b
Γ
u
0
Γ
0
⊂ Ω
U
0
a(x, y) >
0 Ω
a
x
ϕ x
(x, y) ∈ Ω
ϕ(x, y) = arctg
b(x, y)
a(x, y)
,
π/2
a(x, y) > 0 Ω
b(x, y) > 0 Ω
a y
a > 0 Ω
ïîñòðîåíèÿ èíòåãðàëüíîé ïîâåðõíîñòè çàäà÷è Êîøè (2.70), (2.76). Ñ ýòîé
öåëüþ çàìåòèì, ÷òî íà êàæäîé õàðàêòåðèñòèêå óðàâíåíèÿ (2.70) ëþáîå åãî
ðåøåíèå ïðèíèìàåò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî èíòåãðàëüíàÿ
ïîâåðõíîñòü óðàâíåíèÿ (2.70) íåîáõîäèìî ñîñòîèò èç åãî õàðàêòåðèñòèê,
ñäâèíóòûõ ââåðõ èëè âíèç íà çíà÷åíèå, îïðåäåëÿåìîå çíà÷åíèåì ðåøåíèÿ
íà ýòîé õàðàêòåðèñòèêå. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî äëÿ ïîñòðîåíèÿ èíòåãðàëü-
íîé ïîâåðõíîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (2.70), (2.76) íóæíî ÷åðåç êàæäóþ
òî÷êó (x0 , y0 ) ∈ Γ0 íà÷àëüíîé êðèâîé Γ0 ïðîâåñòè õàðàêòåðèñòèêó óðàâíå-
íèÿ (2.70) è ñäâèíóòü åå ââåðõ íà çíà÷åíèå u(x0, y0 ) > 0, ëèáî âíèç, åñëè
u(x0, y0 ) < 0.  èòîãå ìû ïîëó÷èì ïîâåðõíîñòü, ñîñòàâëåííóþ èç îäíîïà-
ðàìåòðè÷åñêîãî ñåìåéñòâà ñäâèíóòûõ óêàçàííûì îáðàçîì õàðàêòåðèñòèê
óðàâíåíèÿ (2.70), êîòîðàÿ ïî ïîñòðîåíèþ è ÿâëÿåòñÿ èñêîìîé èíòåãðàëü-
íîé ïîâåðõíîñòüþ çàäà÷è Êîøè (2.70), (2.76).
   Óêàçàííàÿ èíòåãðàëüíàÿ ïîâåðõíîñòü êàê áû ñøèâàåòñÿ èç õàðàêòå-
ðèñòèê óðàâíåíèÿ (2.70). Ïðè ýòîì ãëàäêîñòü èíòåãðàëüíîé ïîâåðõíîñòè
â ïðîäîëüíîì íàïðàâëåíèè, ò. å. âäîëü õàðàêòåðèñòèê, îïðåäåëÿåòñÿ ëèøü
ãëàäêîñòüþ êîýèöèåíòîâ a è b óðàâíåíèÿ (2.70), òîãäà êàê ãëàäêîñòü â
ïîïåðå÷íîì íàïðàâëåíèè, ò. å. êà÷åñòâî ñøèâêè, îïðåäåëÿåòñÿ ãëàäêîñòüþ
ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâîé Γu0 . Ïîñëåäíÿÿ öåëèêîì è ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿ-
åòñÿ ãëàäêîñòüþ íà÷àëüíîé êðèâîé Γ0 ⊂ Ω â (2.75) è íà÷àëüíîé óíêöèè
U0 â (2.76). Âòîðîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû 2.5 êàê ðàç è ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè-
÷åñêèì îòðàæåíèåì óêàçàííîãî àêòà.
   Çàìå÷àíèå 2.5. Óñëîâèå a(x, y) >
0 â Ω ïðè ãèäðîäèíàìè÷åñêîé èíòåð-
ïðåòàöèè îçíà÷àåò, ÷òî âåêòîðíîå ïîëå
a îïèñûâàåò îäíîíàïðàâëåííîå ïî îò-
íîøåíèþ ê îñè x äâèæåíèå æèäêîñòè.
Ïîñëåäíåå ñîîòâåòñòâóåò òîìó, ÷òî óãîë
ϕ ìåæäó ëþáîé ëèíèåé òîêà è îñüþ x
â êàæäîé òî÷êå (x, y) ∈ Ω, îïðåäåëÿå-
ìûé èç ñîîòíîøåíèÿ
                          b(x, y)
        ϕ(x, y) = arctg           ,
                          a(x, y)
ïî ìîäóëþ ìåíüøå π/2. Îòìåòèì, ÷òî                 èñ. 2.8
îñíîâíûå óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû 2.5 íå
èçìåíÿòñÿ, åñëè óñëîâèå a(x, y) > 0 â Ω
çàìåíèòü óñëîâèåì b(x, y) > 0 â Ω, îçíà÷àþùèì îäíîíàïðàâëåííîñòü ïîëÿ
ñêîðîñòåé a ïî îòíîøåíèþ ê îñè y . Áîëåå òîãî, èñïîëüçóÿ íåñêîëüêî áî-
ëåå ñëîæíûå ðàññóæäåíèÿ ñ ïðèâëå÷åíèåì ñâîéñòâ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì,
ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îñíîâíûå óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû 2.5 îñòàþòñÿ ñïðà-
âåäëèâûìè è â ñëó÷àå, êîãäà âìåñòî óñëîâèÿ a > 0 â Ω âûïîëíÿåòñÿ áîëåå

                                      142

Страницы