Классические методы математической физики - 150 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

λ
k
λ
k
n
X
k=1
∂
2
u
∂x
2
k
+ c
1
u = f(x
1
, ..., x
n
).
R
n+1
n n + 1 ξ
n+1
= t
∂
2
u
∂t
2
−
n
X
k=1
∂
2
u
∂x
2
k
+ c
2
u = f(x
1
, ..., x
n
, t).
x
0
= (x
0
1
, ..., x
0
n
) Ω
x
0
Ω ⊂ R
2
A(x, y)
∂
2
u
∂x
2
+ 2B(x, y)
∂
2
u
∂x∂y
+ C(x, y)
∂
2
u
∂y
2
+ F (x, y, u,
∂u
∂x
,
∂u
∂y
) = 0.
A, B, C ∈ C
2
(Ω) F
A, B C
F F =
A
1
(x, y)∂u/∂x + B
1
(x, y)∂u/∂y + C
1
(x, y)u + f(x, y)
   Äëÿ ýëëèïòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ âñå λk ðàâíû 1 èëè -1. Ïîýòîìó óìíîæàÿ,
åñëè íàäî, îáå ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ íà (-1), ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî âñå
λk ðàâíû 1. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñÿêîå ëèíåéíîå óðàâíåíèå ýëëèïòè÷åñêîãî
òèïà ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè ìîæåò áûòü ïðèâåäåíî ê óðàâíåíèþ,
èìåþùåìó â ïðåæíèõ îáîçíà÷åíèÿõ âèä
                       n
                       X ∂ 2u
                                    + c1 u = f (x1, ..., xn).         (3.12)
                             ∂x2k
                       k=1

    ñëó÷àå óðàâíåíèÿ ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà óäîáíî ñ÷èòàòü, ÷òî óðàâíå-
íèå (3.1) ðàññìàòðèâàåòñÿ â îáëàñòè èç ïðîñòðàíñòâà Rn+1 . Òîãäà, çàìåíèâ
â (3.1) è (3.2) n íà n + 1 è ïîëàãàÿ ξn+1 = t, ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî âñÿêîå
ëèíåéíîå óðàâíåíèå ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòà-
ìè ïðèâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåìó êàíîíè÷åñêîìó âèäó
                             n
                   ∂ 2u X ∂ 2u
                       −       + c2 u = f (x1, ..., xn, t).           (3.13)
                   ∂t2    ∂x2k
                          k=1

    ñëó÷àå, êîãäà êîýèöèåíòû óðàâíåíèÿ (3.1) ïåðåìåííû, äëÿ êàæäîé
òî÷êè x0 = (x01, ..., x0n) îáëàñòè Ω ìîæíî óêàçàòü òàêîå íåâûðîæäåííîå ïðå-
îáðàçîâàíèå íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ, êîòîðîå ïðèâîäèò óðàâíåíèå (3.1)
ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó â ýòîé òî÷êå. Äëÿ êàæäîé òî÷êè x0 èìååòñÿ, âî-
îáùå ãîâîðÿ, ñâîå ïðåîáðàçîâàíèå íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ, ïðèâîäÿùåå
óðàâíåíèå ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó; â äðóãèõ òî÷êàõ ýòî ïðåîáðàçîâàíèå ìî-
æåò íå ïðèâîäèòü óðàâíåíèå ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó. Ïðèìåðû ïîêàçûâà-
þò, ÷òî äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ñ ÷èñëîì íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ
áîëüøå äâóõ (åñëè èñêëþ÷èòü ñëó÷àé ïîñòîÿííûõ êîýèöèåíòîâ), âîîá-
ùå ãîâîðÿ, íåâîçìîæíî ïðèâåñòè ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ íåçàâèñèìûõ
ïåðåìåííûõ ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó äàæå â ñêîëü óãîäíî ìàëîé îáëàñòè. Â
ñëó÷àå æå äâóõ ïåðåìåííûõ òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå íåçàâèñèìûõ ïåðåìåí-
íûõ ñóùåñòâóåò ïðè äîñòàòî÷íî îáùèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ î êîýèöèåíòàõ
óðàâíåíèÿ, êàê áóäåò ïîêàçàíî â ñëåäóþùåì ïóíêòå.
  3.2. Ïðèâåäåíèå ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïî-
ðÿäêà ñ äâóìÿ íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè.        àññìîòðèì â îáëàñòè
Ω ⊂ R óðàâíåíèå, ëèíåéíîå îòíîñèòåëüíî âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ, âèäà:
      2


        ∂ 2u           ∂ 2u          ∂ 2u            ∂u ∂u
 A(x, y) 2 + 2B(x, y)       + C(x, y) 2 + F (x, y, u, , ) = 0. (3.14)
        ∂x            ∂x∂y           ∂y              ∂x ∂y
Çäåñü A, B, C ∈ C 2 (Ω)  çàäàííûå óíêöèè, F  íåïðåðûâíàÿ óíêöèÿ
ñâîèõ àðãóìåíòîâ. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî êîýèöèåíòû A, B è C íå
îáðàùàþòñÿ îäíîâðåìåííî â íóëü. Åñëè F  ëèíåéíàÿ óíêöèÿ, ò. å. F =
A1(x, y)∂u/∂x + B1(x, y)∂u/∂y + C1(x, y)u + f (x, y), òî óðàâíåíèå (3.14)

                                         150

Страницы