Классические методы математической физики - 151 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

(x
0
, y
0
) ∈ Ω
Φ(·, x
0
, y
0
) : R
2
→ R
Φ(t
1
, t
2
; x
0
, y
0
) = A(x
0
, y
0
)t
2
1
+ 2B(x
0
, y
0
)t
1
t
2
+ C(x
0
, y
0
)t
2
2
,
Ω
B
2
− AC > 0 Ω
(x
0
, y
0
) ∈ Ω (t
′
1
, t
′
2
) ∈ R
2
Φ(t
′
1
, t
′
2
; x
0
, y
0
) > 0
(t
′′
1
, t
′′
2
) ∈ R
2
Φ(t
′′
1
, t
′′
2
; x
0
, y
0
) < 0
B
2
− AC = 0 Ω
Φ(t
1
, t
2
; x
0
, y
0
) ≥ 0 Φ(t
1
, t
2
; x
0
, y
0
) ≤ 0 ∀(t
1
, t
2
) ∈ R
2
, (x
0
, y
0
) ∈ Ω;
B
2
− AC < 0 Ω
α > 0
Φ(t
1
, t
2
; x
0
, y
0
) ≥ α(t
2
1
+t
2
2
) Φ(t
1
, t
2
; x
0
, y
0
) ≤ −α(t
2
1
+t
2
2
) ∀(t
1
, t
2
) ∈ R
2
.
A > 0 A < 0
B
2
−AC Ω
x, y
(x
0
, y
0
) ∈ Ω Ω
ξ η
ξ = ϕ(x, y), η = ψ(x, y).
ϕ ψ
Ω
D ≡
D(ϕ, ψ)
D(x, y)
=
∂ϕ
∂x
∂ϕ
∂y
∂ψ
∂x
∂ψ
∂y
6= 0.
(x
0
, y
0
) ∈ Ω ϕ(x, y) = C
1
= const ψ(x, y) = C
2
= const
ξ η
x = x(ξ, η) y = y(ξ, η)
ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì. Ïóñòü (x0, y0 ) ∈ Ω  ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà. Ñîïîñòàâèâ
óðàâíåíèþ (3.14) êâàäðàòè÷íóþ îðìó Φ(·, x0, y0 ) : R2 → R, äåéñòâóþùóþ
ñîãëàñíî (1.12) ïî îðìóëå

       Φ(t1, t2 ; x0, y0) = A(x0, y0)t21 + 2B(x0, y0)t1t2 + C(x0, y0)t22,         (3.15)

âûâîäèì íà îñíîâàíèè îïðåäåëåíèÿ 1.2, ÷òî óðàâíåíèå (3.14) èìååò â Ω:
   1) ãèïåðáîëè÷åñêèé òèï, åñëè B 2 − AC > 0 â Ω.  ýòîì ñëó÷àå êâàä-
ðàòè÷íàÿ îðìà (3.15) çíàêîïåðåìåííàÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ êàæäîé
òî÷êè (x0 , y0 ) ∈ Ω ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí ýëåìåíò (t′1 , t′2 ) ∈ R2 òàêîé,
÷òî Φ(t′1 , t′2 ; x0 , y0 ) > 0, è õîòÿ áû îäèí ýëåìåíò (t′′1 , t′′2 ) ∈ R2 òàêîé, ÷òî
Φ(t′′1 , t′′2 ; x0, y0) < 0;
   2) ïàðàáîëè÷åñêèé òèï, åñëè B 2 − AC = 0 â Ω (êâàäðàòè÷íàÿ îðìà
(3.15) çíàêîïîñòîÿííà), ò. å. âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå

  Φ(t1, t2; x0, y0) ≥ 0 ëèáî Φ(t1, t2 ; x0, y0 ) ≤ 0 ∀(t1, t2 ) ∈ R2 , (x0, y0) ∈ Ω;
   3) ýëëèïòè÷åñêèé òèï, åñëè B 2 − AC < 0 â Ω.  ýòîì ñëó÷àå îðìà
(3.15) çíàêîîïðåäåëåíà, ò. å. ñ íåêîòîðîé êîíñòàíòîé α > 0 âûïîëíÿåòñÿ
óñëîâèå

Φ(t1, t2; x0, y0) ≥ α(t21 +t22 ) ëèáî Φ(t1, t2 ; x0, y0) ≤ −α(t21 +t22 ) ∀(t1 , t2) ∈ R2 .
Ïåðâîå óñëîâèå çäåñü âûïîëíÿåòñÿ ïðè A > 0, âòîðîå  ïðè A < 0.
   Ñëó÷àè, êîãäà âûðàæåíèå B 2 −AC ìåíÿåò çíàê â Ω, ò. å. êîãäà óðàâíåíèå
(3.14) èìååò ñìåøàííûé òèï, ìû íå áóäåì ðàññìàòðèâàòü.
   Ïîñòàâèì ïåðåä ñîáîé çàäà÷ó: ñ ïîìîùüþ çàìåíû íåçàâèñèìûõ ïåðå-
ìåííûõ x, y ïðèâåñòè óðàâíåíèå (3.14) ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó â íåêîòîðîé
îêðåñòíîñòè èêñèðîâàííîé òî÷êè (x0 , y0 ) ∈ Ω. Ñ ýòîé öåëüþ ââåäåì â Ω
íîâûå íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå ξ è η ïî îðìóëàì

                             ξ = ϕ(x, y), η = ψ(x, y).                            (3.16)

Îò óíêöèé ϕ è ψ â (3.16) ïîòðåáóåì, ÷òîáû îíè áûëè äâàæäû íåïðåðûâíî
äèåðåíöèðóåìû è ÷òîáû èõ ÿêîáèàí áûë îòëè÷åí îò íóëÿ â Ω:
                                                ∂ϕ   ∂ϕ
                             D(ϕ, ψ)            ∂x   ∂y
                          D≡         =          ∂ψ   ∂ψ   6= 0.                   (3.17)
                             D(x, y)            ∂x   ∂y

Êàê èçâåñòíî, óñëîâèå (3.17) îçíà÷àåò, ÷òî â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè êàæäîé
òî÷êè (x0 , y0 ) ∈ Ω êðèâûå ϕ(x, y) = C1 = const è ψ(x, y) = C2 = const îáðà-
çóþò äâà ñåìåéñòâà êîîðäèíàòíûõ ëèíèé, îòâå÷àþùèõ íîâûì ïåðåìåííûì
ξ è η . Êðîìå òîãî, óñëîâèå (3.17) ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ
ïðåîáðàçîâàíèÿ x = x(ξ, η), y = y(ξ, η), îáðàòíîãî ê (3.16).

                                          151

Страницы