Классические методы математической физики - 153 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

A > 0 (x
0
, y
0
)
A > 0 A
A
∂z
∂x
+ (B +
p
B
2
− AC)
∂z
∂y
A
∂z
∂x
+ (B −
p
B
2
− AC)
∂z
∂y
= 0.
A
∂z
∂x
+ (B +
p
B
2
− AC)
∂z
∂y
= 0,
A
∂z
∂x
+ (B −
p
B
2
− AC)
∂z
∂y
= 0.
dx
A
=
dy
B +
√
B
2
− AC
,
dx
A
=
dy
B −
√
B
2
− AC
Ady − (B +
p
B
2
− AC)dx = 0,
Ady − (B −
p
B
2
− AC)dx = 0.
ϕ(x, y) = C
1
, ψ(x, y) = C
2
ϕ ψ
A > 0
÷òî A > 0 â ðàññìàòðèâàåìîé îêðåñòíîñòè òî÷êè (x0 , y0 ).  ñèëó óñëîâèÿ
A > 0 óðàâíåíèå (3.21) ìîæíî ïîñëå óìíîæåíèÿ íà A ïåðåïèñàòü â âèäå
                                                            
       ∂z        p           ∂z     ∂z       p              ∂z
     A    + (B + B 2 − AC)        A    + (B − B 2 − AC)          = 0.
       ∂x                    ∂y     ∂x                      ∂y
Ýòî óðàâíåíèå ðàñïàäàåòñÿ íà äâà óðàâíåíèÿ
                        ∂z       p          ∂z
                    A      + (B + B 2 − AC)    = 0,               (3.22)
                        ∂x                  ∂y
                        ∂z        p         ∂z
                      A    + (B − B 2 − AC)    = 0.               (3.23)
                        ∂x                  ∂y
Ñëåäîâàòåëüíî, ðåøåíèÿ êàæäîãî èç óðàâíåíèé (3.22) è (3.23) ÿâëÿþòñÿ ðå-
øåíèÿìè óðàâíåíèÿ (3.21). Óðàâíåíèÿ (3.22), (3.23) ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè
óðàâíåíèÿìè â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Êàê ïîêàçàíî ⠟ 2,
îíè èíòåãðèðóþòñÿ ìåòîäîì õàðàêòåðèñòèê, êîòîðûé ñâîäèò íàõîæäåíèå
èõ ðåøåíèé ê íàõîæäåíèþ ðåøåíèé ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèåðåíöè-
àëüíûõ óðàâíåíèé.
   Îñíîâûâàÿñü íà ìåòîäå õàðàêòåðèñòèê, ñîñòàâèì ñîîòâåòñòâóþùèå óðàâ-
íåíèÿì (3.22), (3.23) ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ óðàâíåíèé äëÿ íàõîæäåíèÿ èõ
õàðàêòåðèñòèê. Îíè èìåþò âèä
              dx        dy       dx        dy
                 =    √        ,    =    √
              A    B + B 2 − AC A     B − B 2 − AC
èëè                              p
                    Ady − (B + B 2 − AC)dx = 0,                   (3.24)
                              p
                    Ady − (B − B 2 − AC)dx = 0.                   (3.25)
 ñèëó ðåçóëüòàòîâ ï. 2.5 ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (3.22), (3.23) ñâÿçàíû ñ ðå-
øåíèÿìè óðàâíåíèé (3.24), (325) ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü

                        ϕ(x, y) = C1 , ψ(x, y) = C2               (3.26)

 ïåðâûå èíòåãðàëû óðàâíåíèé (3.24) è (3.25). Òîãäà óíêöèè ϕ, ψ (è
òîëüêî îíè) ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè óðàâíåíèé (3.22) è (3.23) ñîîòâåòñòâåííî,
à ñëåäîâàòåëüíî, è ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ (3.21). Çàìåòèì, ÷òî óêàçàííîå
ïðåäëîæåíèå èìååò ìåñòî, åñëè êîýèöèåíòû óðàâíåíèé (3.24) è (3.25)
íå îáðàùàþòñÿ â íóëü îäíîâðåìåííî. Ïîñëåäíåå, î÷åâèäíî, âûïîëíÿåòñÿ â
ñèëó óñëîâèÿ A > 0.
   Õàðàêòåðèñòèêè óðàâíåíèé (3.22) è (3.23), îïðåäåëÿåìûå êàê èíòåãðàëü-
íûå êðèâûå îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (3.24) è (3.25)
ñîîòâåòñòâåííî, ìû áóäåì íàçûâàòü òàêæå õàðàêòåðèñòèêàìè èñõîäíîãî

                                    153

Страницы