Классические методы математической физики - 154 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

n
Ady
2
− 2Bdxdy + Cdx
2
= 0.
∆ ≡
B
2
− AC
B
2
− A C = (B
2
− AC)
D(ϕ, ψ)
D(x, y)
2
.
∆
∆ = B
2
− AC > 0 Ω
ϕ ψ
ϕ l
1
(x
0
, y
0
)
ψ
l
2
l
i
ϕ ψ
C
2
A, B
C C
2
ϕ ψ
x y
ϕ l
1
ψ l
2
ϕ l
1
ψ l
2
(x
0
, y
0
)
ϕ ψ x y
ϕ ψ A 6= 0
óðàâíåíèÿ (3.14), à óðàâíåíèÿ (3.24), (3.25)  óðàâíåíèÿìè õàðàêòåðèñòèê
óðàâíåíèÿ (3.14). Ïîçæå ⠟ 4 ìû ââåäåì ñòðîãîå îïðåäåëåíèå õàðàêòåðèñòè-
êè îáùåãî óðàâíåíèÿ 2-ãî ïîðÿäêà â ïðîñòðàíñòâå n èçìåðåíèé, èç êîòîðîãî
â êà÷åñòâå ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ áóäåò âûòåêàòü ïðèâåäåííîå çäåñü îïðåäåëå-
íèå õàðàêòåðèñòèê óðàâíåíèÿ (3.14). Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèÿ (3.24), (3.25)
ìîãóò áûòü çàïèñàíû îðìàëüíî â âèäå îäíîãî ëåãêî çàïîìèíàþùåãîñÿ
óðàâíåíèÿ õàðàêòåðèñòèê

                       Ady 2 − 2Bdxdy + Cdx2 = 0.                     (3.27)

   Ïîâåäåíèå èíòåãðàëîâ óðàâíåíèé (3.24), (3.25), à ñëåäîâàòåëüíî, è èñ-
êîìûé ïðîñòåéøèé âèä óðàâíåíèÿ (3.14) çàâèñèò îò çíàêà âåëè÷èíû ∆ ≡
B 2 − AC . Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî
                                                 2
                     2                    D(ϕ, ψ)
                   B − A C = (B 2 − AC)              .            (3.28)
                                          D(x, y)

Ñëåäîâàòåëüíî, çíàê ∆ íå ìåíÿåòñÿ ïðè ïðåîáðà-
çîâàíèÿõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ, óäîâëåòâî-
ðÿþùèõ óñëîâèþ (3.17).
     Âåðíåìñÿ òåïåðü ê íàøåé çàäà÷å óïðîùåíèÿ
óðàâíåíèÿ (3.14), ïðè÷åì êàæäûé òèï áóäåì èçó-
÷àòü â îòäåëüíîñòè.
     1. ∆ = B 2 − AC > 0 â Ω: óðàâíåíèå (3.14)
èìååò ãèïåðáîëè÷åñêèé òèï. Âûáåðåì â êà÷å-
ñòâå èñêîìûõ óíêöèé ϕ è ψ â (3.16) ðåøåíèÿ
çàäà÷ Êîøè äëÿ óðàâíåíèé (3.22) è (3.23) ñîîò-
âåòñòâåííî ïðè óñëîâèè, ÷òî äàííûå Êîøè äëÿ                 èñ. 3.1
ϕ çàäàþòñÿ íà íåêîòîðîé ëèíèè l1, ïðîõîäÿùåé
÷åðåç òî÷êó (x0 , y0 ) è íèãäå íå êàñàþùåéñÿ õàðàêòåðèñòèê óðàâíåíèÿ (3.22),
òîãäà êàê äàííûå Êîøè äëÿ ψ çàäàþòñÿ íà äðóãîé, âîîáùå ãîâîðÿ, ëèíèè
l2 , íèãäå íå êàñàþùåéñÿ õàðàêòåðèñòèê óðàâíåíèÿ (3.23). Åñëè ëèíèè li è
çàäàííûå íà íèõ çíà÷åíèÿ óíêöèé ϕ è ψ âûáðàòü äîñòàòî÷íî ãëàäêèìè,
íàïðèìåð, èç êëàññà C 2 , òî ñ ó÷åòîì ïðèíàäëåæíîñòè êîýèöèåíòîâ A, B
è C ýòîìó æå êëàññó C 2 ìû ïîëó÷èì â ñèëó òåîðåìû 2.5 ðåøåíèÿ ϕ è ψ ,
èìåþùèå íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå ïî x è y äî âòîðîãî ïîðÿäêà âêëþ÷è-
òåëüíî. Åñëè ïðåäïîëîæèòü, êðîìå òîãî, ÷òî íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ óíêöèè
ϕ íà l1 è ψ íà l2 âûáðàíû òàê, ÷òî ïðîèçâîäíûå îò ϕ ïî íàïðàâëåíèþ l1 è îò
ψ ïî íàïðàâëåíèþ l2 íå îáðàùàþòñÿ â íóëü â òî÷êå (x0, y0), òî â ýòîé òî÷-
êå íå ìîãóò áûòü ðàâíûìè íóëþ îäíîâðåìåííî îáå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå
óíêöèé ϕ è ψ ïî x è y (èáî òîãäà ðàâíÿëèñü áû íóëþ ïðîèçâîäíûå â ýòîé
òî÷êå îò ϕ è ψ ïî ëþáîìó íàïðàâëåíèþ). Òàê êàê A 6= 0, òî èç óðàâíåíèé


                                    154

Страницы