Классические методы математической физики - 156 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

A B D(ϕ, ψ)/D(x, y) = 0 (x
0
, y
0
)
C
∂
2
u
∂η
2
= F
2
ξ, η, u,
∂u
∂ξ
,
∂u
∂η
.
F
2
F
2
= −F /C
∆ = B
2
−AC < 0 Ω
A, B C x, y
(x
0
, y
0
) ∈ Ω
x y
(x
0
, y
0
) ∈ Ω
z
∂z/∂x ∂z/∂y
z z
∗
A
∂z
∂x
= −
1
A
(B +
p
B
2
− AC)
∂z
∂y
,
∂z/∂x
z x = x
0
(x
0
, y
0
)
z
0
y
x z
0
dz
0
/dy 6= 0 (x
0
, y
0
)
∂z/∂y 6= 0 ϕ ψ
ϕ = (z + z
∗
)/2 ψ = (z −z
∗
)/2i ϕ, ψ ∈ C
∞
D(ϕ, ψ)/D(x, y)
D(ϕ, ψ)
D(x, y)
=
D(ϕ, ψ)
D(z, z
∗
)
D(z, z
∗
)
D(x, y)
=
1
2i
2
√
∆
A
∂z
∂y
∂z
∗
∂y
= −
√
−∆
A
∂z
∂y
2
6= 0.
ϕ ψ
z = ϕ + iψ
A
∂ϕ
∂x
+ i
∂ψ
∂x
2
+ 2B
∂ϕ
∂x
+ i
∂ψ
∂x
∂ϕ
∂y
+ i
∂ψ
∂y
+ C
∂ϕ
∂y
+ i
∂ψ
∂y
2
≡ 0.
àññìàòðèâàÿ (3.32) è (3.34) êàê ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâ-
íåíèé îòíîñèòåëüíî A è B , ïîëó÷èì, ÷òî D(ϕ, ψ)/D(x, y) = 0 â (x0, y0 ).
Ýòî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ (3.17). àçäåëèâ (3.19) íà C , ïðèõîäèì
ê ñëåäóþùåìó êàíîíè÷åñêîìó âèäó óðàâíåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà:
                       ∂ 2u
                                              
                                         ∂u ∂u
                            = F2 ξ, η, u, ,      .               (3.35)
                       ∂η 2              ∂ξ ∂η
Çäåñü óíêöèÿ F2 îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé F2 = −F /C .
   3. ∆ = B 2 − AC < 0 â Ω: óðàâíåíèå (3.14) èìååò ýëëèïòè÷åñêèé òèï. Â
ýòîì ñëó÷àå êîýèöèåíòû óðàâíåíèé (3.24), (3.25) è èõ ïåðâûå èíòåãðà-
ëû (3.26) ÿâëÿþòñÿ êîìïëåêñíûìè âåëè÷èíàìè. Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî
êîýèöèåíòû A, B è C  àíàëèòè÷åñêèå óíêöèè îò x, y â îêðåñòíî-
ñòè òî÷êè (x0 , y0 ) ∈ Ω, òî êîýèöèåíòû óðàâíåíèé (3.22) è (3.23) òàêæå
ÿâëÿþòñÿ àíàëèòè÷åñêèìè óíêöèÿìè îò x è y . Òîãäà ìîæíî ïîêàçàòü,
÷òî â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè (x0 , y0 ) ∈ Ω ñóùåñòâóåò àíàëèòè÷åñêîå
ðåøåíèå z óðàâíåíèÿ (3.22), ó êîòîðîãî â ýòîé îêðåñòíîñòè ïðîèçâîäíûå
∂z/∂x è ∂z/∂y íå îáðàùàþòñÿ îäíîâðåìåííî â íóëü. Ïðè ýòîì êîìïëåêñíî-
ñîïðÿæåííàÿ ê z óíêöèÿ z ∗ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (3.23).
   ×òîáû äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (3.22),
ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (3.22) ïîñëå äåëåíèÿ íà A â âèäå
                        ∂z        1      p            ∂z
                             = − (B + B 2 − AC) ,                         (3.36)
                        ∂x       A                    ∂y
ðàçðåøåííîì îòíîñèòåëüíî ∂z/∂x, è çàäàäèì íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ óíê-
öèè z íà íåêîòîðîì îòðåçêå x = x0 , ïðîõîäÿùåì ÷åðåç òî÷êó (x0, y0 ), â
âèäå àíàëèòè÷åñêîé óíêöèè z0 ïåðåìåííîé y .  òàêîì ñëó÷àå óêàçàí-
íûé àêò âûòåêàåò èç òåîðåìû Êîâàëåâñêîé, ïðèìåíåííîé ê çàäà÷å Êîøè
äëÿ óðàâíåíèÿ 1-ãî ïîðÿäêà (3.36), íîðìàëüíîãî îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííîé
x (ñì. ï. 1.4). Åñëè ê òîìó æå íà÷àëüíóþ óíêöèþ z0 âûáðàòü òàê, ÷òî
dz0 /dy 6= 0, òî â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè (x0, y0) áóäåò âûïîëíÿòüñÿ
óñëîâèå ∂z/∂y 6= 0. Ââåäåì äàëåå âåùåñòâåííûå óíêöèè ϕ è ψ ïî îðìó-
ëàì ϕ = (z + z ∗ )/2, ψ = (z − z ∗ )/2i. ßñíî, ÷òî ϕ, ψ ∈ C ∞, ïðè÷åì ÿêîáèàí
D(ϕ, ψ)/D(x, y) îòëè÷åí îò íóëÿ, èáî
                                  ∗
                                          √               √         2
     D(ϕ, ψ)     D(ϕ, ψ) D(z, z )      1    ∆ ∂z ∂z ∗       −∆ ∂z
               =                    = 2               =−              6= 0.
      D(x, y)    D(z, z ∗ ) D(x, y)    2i A ∂y ∂y           A    ∂y
Ñ ó÷åòîì ýòîãî óíêöèè ϕ è ψ ìîæíî âûáðàòü â êà÷åñòâå èñêîìûõ â (3.16).
   Îñòàëîñü âûÿñíèòü, êàêîé âèä ïðèìåò óðàâíåíèå (3.14) â ýòèõ ïåðåìåí-
íûõ. Ñ ýòîé öåëüþ çàìåòèì, ÷òî ïî ïîñòðîåíèþ óíêöèÿ z = ϕ + iψ ÿâëÿ-
åòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (3.21), òàê ÷òî
             2                                           2
     ∂ϕ    ∂ψ           ∂ϕ    ∂ψ     ∂ϕ    ∂ψ        ∂ϕ      ∂ψ
 A      +i       + 2B      +i           +i      +C       +i        ≡ 0.
     ∂x    ∂x           ∂x    ∂x     ∂y    ∂y         ∂y     ∂y
                                     156

Страницы