Классические методы математической физики - 155 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

∂ϕ/∂y 6= 0 ∂ψ/∂y 6= 0
(x
0
, y
0
)
∂ϕ
∂x
:
∂ϕ
∂y
=
−B −
√
B
2
− AC
A
6=
−B +
√
B
2
− AC
A
=
∂ψ
∂x
:
∂ψ
∂y
.
D 6= 0 Ω
(x
0
, y
0
) ξ η
A = C ≡ 0 B 6= 0 2B
∂
2
u
∂ξ∂η
= F
1
ξ, η, u,
∂u
∂ξ
,
∂u
∂η
,
F
1
= −F /2B
∂
2
u
∂α
2
−
∂
2
u
∂β
2
=
˜
F
1
α, β, u,
∂u
∂α
,
∂u
∂β
.
α = (ξ − η)/2 β = (ξ + η)/2
∆ = B
2
− AC = 0 Ω
A
∂ϕ
∂x
+ B
∂ϕ
∂y
= 0.
ϕ ∈ C
2
gradϕ 6= 0 (x
0
, y
0
)
ϕ ψ ∈ C
2
ψ(x, y) = x
x = const
ϕ ψ A ≡ 0
∆ ≡ 0 B ≡ 0
C
C =
1
A
A
∂ψ
∂x
+ B
∂ψ
∂y
2
.
C 6= 0 C = 0 (x
0
, y
0
) ∈ Ω
A
∂ψ
∂x
+ B
∂ψ
∂y
= 0.
(3.22) è (3.23) òîãäà ñëåäóåò, ÷òî ∂ϕ/∂y 6= 0 è ∂ψ/∂y 6= 0 â îêðåñòíîñòè
òî÷êè (x0 , y0 ) è ÷òî
                       √                  √
    ∂ϕ ∂ϕ −B − B 2 − AC              −B + B 2 − AC     ∂ψ ∂ψ
        :      =                  6=                =      :   .   (3.29)
    ∂x ∂y               A                  A           ∂x ∂y
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî D 6= 0 â Ω.
   Òàêèì îáðàçîì, âûáðàííûå óêàçàííûì ñïîñîáîì ñåìåéñòâà õàðàêòåðè-
ñòèê (3.26) îáðàçóþò äâà ñåìåéñòâà êîîðäèíàòíûõ ëèíèé, ïî êðàéíåé ìåðå
â îêðåñòíîñòè ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êè (x0 , y0 ), à ïåðåìåííûå ξ è η â (3.16)
ìîæíî ïðèíÿòü çà íîâûå êîîðäèíàòû. Êðîìå òîãî, èç (3.20) âûòåêàåò, ÷òî
A = C ≡ 0, à èç (3.28) ñëåäóåò, ÷òî B 6= 0. àçäåëèâ (3.19) íà 2B , ïîëó÷èì
                        ∂ 2u
                                                 
                                           ∂u ∂u
                             = F1 ξ, η, u, ,        ,                  (3.30)
                       ∂ξ∂η                ∂ξ ∂η
ãäå F1 = −F /2B . Ýòî  êàíîíè÷åñêèé âèä óðàâíåíèÿ ãèïåðáîëè÷åñêîãî
òèïà.
   Ñóùåñòâóåò è äðóãîé êàíîíè÷åñêèé âèä, à èìåííî
                  ∂ 2u ∂ 2u
                                                
                                           ∂u ∂u
                      −     = F̃1 α, β, u,   ,     .          (3.31)
                  ∂α2 ∂β 2                 ∂α ∂β
Îí ïîëó÷àåòñÿ èç (3.30) çàìåíîé α = (ξ − η)/2, β = (ξ + η)/2.
   2. ∆ = B 2 − AC = 0 â Ω: óðàâíåíèå (3.14) èìååò ïàðàáîëè÷åñêèé òèï.
 ýòîì ñëó÷àå îáà óðàâíåíèÿ (3.22) è (3.23) ñîâïàäàþò è ïðèíèìàþò âèä
                                 ∂ϕ    ∂ϕ
                             A      +B    = 0.                         (3.32)
                                 ∂x    ∂y
  Êàê è âûøå, ìû ìîæåì íàéòè òàêîå ðåøåíèå ϕ ∈ C 2 óðàâíåíèÿ (3.32),
äëÿ êîòîðîãî gradϕ 6= 0 â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè (x0, y0 ). Ê ýòîé
óíêöèè ϕ ïîäáåðåì óíêöèþ ψ ∈ C 2 ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì, ëèøü áû
âûïîëíÿëîñü óñëîâèå (3.17). Íàïðèìåð, ìîæíî âçÿòü ψ(x, y) = x. Îòâå÷àþ-
ùèå òàêîé óíêöèè êîîðäèíàòíûå ëèíèè ñîâïàäàþò ñ ïðÿìûìè x = const.
C ó÷åòîì óêàçàííîãî âûáîðà óíêöèé ϕ è ψ èç (3.20) ñëåäóåò, ÷òî A ≡ 0.
Êðîìå òîãî, òàê êàê ∆ ≡ 0, òî èç (3.28) âûòåêàåò, ÷òî B ≡ 0. Êîýèöèåíò
C ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó
                                             2
                             1      ∂ψ     ∂ψ
                       C=        A     +B         .                (3.33)
                             A      ∂x     ∂y
   Ïîêàæåì, ÷òî C 6= 0. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè C = 0 â òî÷êå (x0 , y0 ) ∈ Ω,
òî â ýòîé òî÷êå èìååì
                            ∂ψ     ∂ψ
                          A    +B      = 0.                         (3.34)
                            ∂x     ∂y
                                     155

Страницы