Классические методы математической физики - 157 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

A
∂ϕ
∂x
2
+ 2B
∂ϕ
∂x
∂ϕ
∂y
+ C
∂ϕ
∂y
2
= A
∂ψ
∂x
2
+ 2B
∂ψ
∂x
∂ψ
∂y
+ C
∂ψ
∂y
2
,
A
∂ϕ
∂x
∂ψ
∂x
+ B
∂ϕ
∂x
∂ψ
∂y
+
∂ϕ
∂y
∂ψ
∂x
+ C
∂ϕ
∂y
∂ψ
∂y
= 0.
B = 0 A = C
A 6= 0 A
∂
2
u
∂ξ
2
+
∂
2
u
∂η
2
= F
3
(ξ, η, u,
∂u
∂ξ
,
∂u
∂η
),
F
3
= −F \A
A B C
(x, y)
(x
0
, y
0
)
y
A B C A B C ∈ C
2
n
X
i,j=1
a
ij
(x
1
, ..., x
n
)
∂
2
u
∂x
i
∂x
j
+ f(x
1
, ..., x
n
, u, ∇u) = 0.
a
ij
x
1
x
2
x
n
x Ω ⊂ R
n
f
a
ij
= a
ji
i, j = 1, 2 , ..., n Ω (n − 1)
S S
l S
S n
S
S u ∂u/∂l
u|
S
= ϕ
0
(x),
àçäåëÿÿ â ýòîì òîæäåñòâå âåùåñòâåííóþ è ìíèìóþ ÷àñòè, ïîëó÷èì
    2                    2        2                   2
     ∂ϕ         ∂ϕ ∂ϕ       ∂ϕ         ∂ψ        ∂ψ ∂ψ      ∂ψ
 A        + 2B        +C         =A         + 2B       +C       ,
     ∂x         ∂x ∂y       ∂y         ∂x        ∂x ∂y      ∂y
                                        
               ∂ϕ ∂ψ      ∂ϕ ∂ψ ∂ϕ ∂ψ         ∂ϕ ∂ψ
             A       +B         +          +C       = 0.
               ∂x ∂x      ∂x ∂y    ∂y ∂x      ∂y ∂y
Îòñþäà â ñèëó (3.20) ñëåäóåò, ÷òî B = 0, A = C , à èç (3.28) è (3.17) ñëåäóåò,
÷òî A 6= 0. àçäåëèâ óðàâíåíèå (3.19) íà A, ïîëó÷èì
                        ∂ 2u ∂ 2u                 ∂u ∂u
                            +     = F 3 (ξ, η, u,   , ),                       (3.37)
                        ∂ξ 2 ∂η 2                 ∂ξ ∂η
ãäå F3 = −F \A. Ýòî  êàíîíè÷åñêèé âèä óðàâíåíèÿ ýëëèïòè÷åñêîãî òè-
ïà. Èòàê, ïðåäïîëîæèâ, ÷òî A, B è C  àíàëèòè÷åñêèå óíêöèè òî÷åê
(x, y), ìû ïðèâåëè èñõîäíîå óðàâíåíèå (3.14) ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó (3.37)
â îêðåñòíîñòè íåêîòîðîé òî÷êè (x0 , y0 ), â êîòîðîé ñóùåñòâóþò àíàëèòè÷å-
ñêèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (3.22), (3.23) ñ îòëè÷íûìè îò íóëÿ ïðîèçâîäíûìè
ïî ïåðåìåííîé y . Èñïîëüçóÿ áîëåå ñëîæíûå ðàññóæäåíèÿ, ìîæíî ïîêàçàòü,
÷òî òàêîå ïðèâåäåíèå âîçìîæíî áåç ïðåäïîëîæåíèÿ îá àíàëèòè÷íîñòè êî-
ýèöèåíòîâ A, B è C , íî ïðè óñëîâèè, ÷òî A, B è C ∈ C 2 (ñì. [11, ñ.
66℄).

      Ÿ4. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è Êîøè. Õàðàêòåðèñòèêè
               óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà
  4.1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è Êîøè. Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü.
àññìîòðèì óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà
             n
             X                        ∂ 2u
                   aij (x1, ..., xn)           + f (x1, ..., xn, u, ∇u) = 0.    (4.1)
             i,j=1
                                     ∂x i ∂x j

Çäåñü êîýèöèåíòû aij  çàäàííûå âåùåñòâåííûå óíêöèè êîîðäèíàò x1 ,
x2, ..., xn òî÷êè x, èçìåíÿþùåéñÿ â íåêîòîðîé îáëàñòè Ω ⊂ Rn , f  çàäàí-
íàÿ âåùåñòâåííàÿ óíêöèÿ ñâîèõ àðãóìåíòîâ, ïðè÷åì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî
aij = aji , i, j = 1, 2, ..., n. Ïóñòü â îáëàñòè Ω çàäàíà ãëàäêàÿ (n − 1)  ìåð-
íàÿ ïîâåðõíîñòü S (ðèñ. 4.1), è â êàæäîé òî÷êå S çàäàíî âåêòîðíîå ïîëå
íàïðàâëåíèé l, íåêàñàòåëüíîå ê S è ãëàäêî èçìåíÿþùååñÿ ïðè äâèæåíèè
âäîëü S .  êà÷åñòâå òàêîãî ïîëÿ ìîæíî âçÿòü, íàïðèìåð, ïîëå íîðìàëåé n
ê ïîâåðõíîñòè S .
   Íà ïîâåðõíîñòè S çàäàäèì çíà÷åíèÿ óíêöèè u è åå ïðîèçâîäíîé ∂u/∂l:
                                    u|S = ϕ0 (x),                               (4.2)

                                          157

Страницы