Классические методы математической физики - 159 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

∂
2
u/∂x
2
1
x
1
= x
0
1
∂
2
u/∂x
2
1
x
1
= x
0
1
u
x
1
= x
0
1
l n
S
S = {x ∈ R
n
: ψ(x) = 0, ∇ψ(x) 6= 0}.
S ξ
1
, ξ
2
, .., ξ
n
ξ
i
= ψ
i
(x
1
, ..., x
n
), i = 1, 2, ..., n,
ψ
1
= ψ ψ
2
, ..., ψ
n
S u x
i
ξ
i
∂u
∂x
i
=
n
X
l=1
∂u
∂ξ
l
∂ψ
l
∂x
i
,
∂
2
u
∂x
i
∂x
j
=
n
X
l,k=1
∂
2
u
∂ξ
l
∂ξ
k
∂ψ
l
∂x
i
∂ψ
k
∂x
j
+
n
X
l=1
∂u
∂ξ
l
∂
2
ψ
l
∂x
i
∂x
j
.
u ξ
1
, ..., ξ
n
a(x, ∇ψ(x))
∂
2
u(x)
∂ξ
2
1
= G
x, u(x), ∇u(x),
∂
2
u(x)
∂ξ
i
∂ξ
j
, i + j > 2.
G x u ∇u
∂
2
u/∂ξ
i
∂ξ
j
∂
2
u/∂ξ
2
1
a
a(x, ∇ψ(x)) =
n
X
i,j=1
a
ij
(x)
∂ψ(x)
∂x
i
∂ψ(x)
∂x
j
.
l = n
u|
ξ
1
=0
= ˜ϕ
0
(ξ
2
, ..., ξ
n
),
∂u
∂ξ
1
|
ξ
1
=0
= ˜ϕ
1
(ξ
2
, ..., ξ
n
)
    ïåðâîì ñëó÷àå ìû îäíîçíà÷íî îïðåäåëèì âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ ∂ 2 u/∂x21
íà ãèïåðïëîñêîñòè x1 = x01 , à òàêæå ïðîèçâîäíûå áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîâ
ïóòåì äèåðåíöèðîâàíèÿ óðàâíåíèÿ (4.1) è óñëîâèé (4.4). Âî âòîðîì ñëó-
÷àå ìû ïðèäåì ê íåâîçìîæíîìó ðàâåíñòâó èëè ïîëó÷èì òîæäåñòâî îòíîñè-
òåëüíî ∂ 2 u/∂x21, ò. å. ïðèäåì ê íåñîâìåñòíîñòè èëè íåîïðåäåëåííîñòè ïðè
íàõîæäåíèè ïðîèçâîäíûõ âòîðîãî, à òàêæå áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà íà ãè-
ïåðïëîñêîñòè x1 = x01 . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ïîñëåäíåì ñëó÷àå ïîñòàâëåííàÿ
âûøå âñïîìîãàòåëüíàÿ çàäà÷à íàõîæäåíèÿ âñåõ ïðîèçâîäíûõ îò ðåøåíèÿ u
íà ãèïåðïëîñêîñòè x1 = x01 ëèáî íåðàçðåøèìà, ëèáî èìååò ìíîãî ðåøåíèé.
   àññìîòðèì òåïåðü îáùèé ñëó÷àé, êîãäà óñëîâèÿ Êîøè (4.2), (4.3), ãäå
ïîëå l ñîâïàäàåò äëÿ êîíêðåòíîñòè ñ ïîëåì íîðìàëåé n, çàäàíû íà íåêîòî-
ðîé ïîâåðõíîñòè S , îïèñûâàåìîé óðàâíåíèåì

                     S = {x ∈ Rn : ψ(x) = 0, ∇ψ(x) 6= 0}.                      (4.5)

 îêðåñòíîñòè ïîâåðõíîñòè S ââåäåì íîâûå êîîðäèíàòû ξ1 , ξ2 , .., ξn, ïîëàãàÿ

                         ξi = ψi (x1, ..., xn), i = 1, 2, ..., n,              (4.6)

ãäå ψ1 = ψ , à óíêöèè ψ2 , ..., ψn âûáåðåì òàê, ÷òîáû ÿêîáèàí ïðåîáðàçî-
âàíèÿ (4.6) áûë îòëè÷åí îò íóëÿ íà S . Ïðîèçâîäíûå îò u ïî xi âûðàçÿòñÿ
÷åðåç ïðîèçâîäíûå ïî ξi ïî ñëåäóþùèì îðìóëàì:
          n                  n                   n
    ∂u    X ∂u ∂ψl   ∂ 2u    X  ∂ 2u ∂ψl ∂ψk X ∂u ∂ 2ψl
        =          ,       =                   +              .
    ∂xi     ∂ξl ∂xi ∂xi∂xj     ∂ξl ∂ξk ∂xi ∂xj     ∂ξl ∂xi∂xj
           l=1                            l,k=1                        l=1

Ïîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ â (4.1), ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó óðàâíåíèþ
äëÿ u â íîâûõ ïåðåìåííûõ ξ1 , ..., ξn:
                ∂ 2u(x)                     ∂ 2u(x)
                                                   
    a(x, ∇ψ(x))         = G x, u(x), ∇u(x),           , i + j > 2. (4.7)
                  ∂ξ12                      ∂ξi∂ξj
Çäåñü G  èçâåñòíàÿ óíêöèÿ ñâîèõ àðãóìåíòîâ, çàâèñÿùàÿ îò x, u, ∇u è
âñåõ âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ ∂ 2 u/∂ξi∂ξj , êðîìå ïðîèçâîäíîé ∂ 2 u/∂ξ12, à êîý-
èöèåíò a â (4.7) îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé
                                          n
                                          X                ∂ψ(x) ∂ψ(x)
                      a(x, ∇ψ(x)) =              aij (x)               .       (4.8)
                                         i,j=1
                                                            ∂xi ∂xj

Èç (4.5) è (4.6) âûòåêàåò, ÷òî óñëîâèÿ (4.2), (4.3) ïðè l = n ïåðåõîäÿò ïðè
ïðåîáðàçîâàíèè (4.6) â óñëîâèÿ Êîøè
                                                 ∂u
                 u|ξ1 =0 = ϕ̃0 (ξ2, ..., ξn),       |ξ =0 = ϕ̃1(ξ2, ..., ξn)
                                                 ∂ξ1 1
                                                159

Страницы