Классические методы математической физики - 161 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

S x
0
x
0
∂
2
u(x)
∂ξ
2
1
= Φ
x, u(x), ∇u(x),
∂
2
u(x)
∂ξ
i
∂ξ
j
, i + j > 2.
Φ = G/a G
x
0
S
x
0
a
ij
f ϕ
0
ϕ
1
x
0
u
§1
x
0
S x
0
x
0
a(x
0
, ∇ψ(x
0
))
∂
2
u(x
0
)
∂ξ
2
1
= 0 = G
x
0
, u(x
0
), ∇u(x
0
),
∂
2
u(x
0
)
∂ξ
i
∂ξ
j
, i + j > 2.
l = n
x
0
∂
2
u/∂ξ
2
1
x
0
l = n
x
0
   1. Ïîâåðõíîñòü S ÿâëÿåòñÿ íåõàðàêòåðèñòè÷åñêîé â òî÷êå x0 .  ýòîì
ñëó÷àå â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 óðàâíåíèå (4.7) ìîæíî çàïèñàòü â òàê íàçû-
âàåìîé íîðìàëüíîé îðìå
            ∂ 2u(x)                     ∂ 2u(x)
                                               
                    = Φ x, u(x), ∇u(x),           , i + j > 2.     (4.15)
              ∂ξ12                      ∂ξi∂ξj
Çäåñü Φ = G/a, à óíêöèÿ G îïðåäåëåíà â (4.7). Îñíîâûâàÿñü íà ýòîì,
ìîæíî äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ
çàäà÷è Êîøè â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 . Ýòîò ðåçóëüòàò ñîñòàâëÿåò ñîäåðæà-
íèå òåîðåìû Êîâàëåâñêîé.  ïðèìåíåíèè ê çàäà÷å (4.1)-(4.3) îíà èìååò âèä
(ñð. ñ åå îðìóëèðîâêîé äëÿ íîðìàëüíûõ ñèñòåì ⠟1): åñëè S  àíàëè-
òè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü â îêðåñòíîñòè ñâîåé òî÷êè x0 , êîýèöèåíòû aij ,
ïðàâàÿ ÷àñòü f óðàâíåíèÿ (4.1) è äàííûå Êîøè ϕ0 è ϕ1 â (4.2), (4.3) àíà-
ëèòè÷íû â ýòîé îêðåñòíîñòè, è âûïîëíåíî óñëîâèå (4.11), òî â íåêîòî-
ðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 ñóùåñòâóåò àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå u çàäà÷è
Êîøè (4.1)-(4.3), êîòîðîå â êëàññå àíàëèòè÷åñêèõ óíêöèé åäèíñòâåííî.
   Îòìåòèì, ÷òî óêàçàííàÿ òåîðåìà íîñèò óíèâåðñàëüíûé õàðàêòåð, ïî-
ñêîëüêó, ñ îäíîé ñòîðîíû, îíà ïðèìåíèìà ê ëþáîìó óðàâíåíèþ â ÷àñòíûõ
ïðîèçâîäíûõ ñ àíàëèòè÷åñêèìè êîýèöèåíòàìè íåçàâèñèìî îò èõ òèïà
(ãèïåðáîëè÷åñêîãî, ïàðàáîëè÷åñêîãî è ò. ä.), à ñ äðóãîé ñòîðîíû, îíà ïðè-
ìåíèìà ê óðàâíåíèÿì íå òîëüêî âòîðîãî, íî è ñòàðøèõ ïîðÿäêîâ. Ïðàâäà,
êàê óæå óêàçûâàëîñü â §1, ýòà òåîðåìà íîñèò ëîêàëüíûé õàðàêòåð â òîì
ñìûñëå, ÷òî îíà äàåò ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ ëèøü â ìàëîì, ò. å. â äîñòà-
òî÷íî ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 .
   2. Ïîâåðõíîñòü S ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé â òî÷êå x0 .  ýòîì
ñëó÷àå óðàâíåíèå (4.7) â ñàìîé òî÷êå x0 ñâîäèòñÿ ê ñîîòíîøåíèþ

                 ∂ 2u(x0)                            ∂ 2u(x0)
                                                             
  a(x0, ∇ψ(x0))           = 0 = G x0, u(x0), ∇u(x0),            , i + j > 2.
                    ∂ξ12                              ∂ξi∂ξj
                                                                        (4.16)
Óêàçàííîå ñîîòíîøåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îãðàíè÷åíèå íà äàííûå Êîøè
â (4.2), (4.3). Ïðè ýòîì âîçìîæíû äâà âàðèàíòà:
   à) Äàííûå Êîøè â (4.2), (4.3) òàêîâû, ÷òî (ïðè l = n) âûïîëíÿåòñÿ
âòîðîå ðàâåíñòâî â (4.16). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî èñõîäíîå óðàâíåíèå (4.1)
âûïîëíÿåòñÿ â òî÷êå x0 , ïðè÷åì â êà÷åñòâå âòîðîé ïðîèçâîäíîé ∂ 2 u/∂ξ12 â
ýòîé òî÷êå ìîæíî âçÿòü ëþáîå ÷èñëî. Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî èìååò ìåñòî
íååäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, óñëîâèé Êîøè (4.2), (4.3) íå
äîñòàòî÷íî äëÿ îäíîçíà÷íîãî îïðåäåëåíèÿ ðåøåíèÿ â òî÷êå x0 .
   á) Äàííûå Êîøè â (4.2), (4.3) (ïðè l = n) íå óäîâëåòâîðÿþò âòîðîìó
ðàâåíñòâó â (4.16).  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (4.1) íå ìîæåò áûòü óäîâëå-
òâîðåíî â òî÷êå x0 , òàê ÷òî óñëîâèÿ Êîøè (4.2), (4.3) ïåðåîïðåäåëÿþò ðàñ-
ñìàòðèâàåìóþ çàäà÷ó Êîøè (4.1)-(4.3).

                                     161

Страницы