Классические методы математической физики - 163 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

a
∂ψ
∂x
,
∂ψ
∂y
,
∂ψ
∂t
≡
∂ψ
∂t
2
− a
2
"
∂ψ
∂x
2
+
∂ψ
∂y
2
#
= 0
S.
(x
0
, y
0
, t
0
) ∈ R
2
×R
1
t
S =
(x, y, t) : ψ(x, y, t) ≡ a
2
(t − t
0
)
2
− (x −x
0
)
2
− (y − y
0
)
2
= 0
,
(x
0
, y
0
, t
0
)
K
+
(x
0
, y
0
, t
0
) =
n
(x, y, t) : a(t − t
0
) >
p
(x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
o
K
−
(x
0
, y
0
, t
0
) =
n
(x, y, t) : −a(t − t
0
) >
p
(x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
o
,
ψ
(x, y, t) S ≡ Γ
+
(x
0
, y
0
, t
0
) ∪
Γ
−
(x
0
, y
0
, t
0
) Γ
±
(x
0
, y
0
, t
0
) = ∂K
±
(x
0
, y
0
, t
0
)
∂ψ
∂t
= 2a
2
(t −t
0
),
∂ψ
∂x
= −2(x − x
0
),
∂ψ
∂y
= −2(y − y
0
),
   Ïîäñòàâëÿÿ (4.20) â (4.17), ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó õàðàêòåðèñòè÷åñêî-
ìó óðàâíåíèþ äëÿ óðàâíåíèÿ (4.19):
                 2              "        2 #
                                        2
     ∂ψ ∂ψ ∂ψ          ∂ψ            ∂ψ        ∂ψ
 a     ,   ,      ≡           − a2         +        = 0 íà S. (4.21)
     ∂x ∂y ∂t          ∂t            ∂x        ∂y

Ïóñòü (x0 , y0 , t0 ) ∈ R2 × R1t  ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà. àññìîòðèì ïîâåðõíîñòü

 S = (x, y, t) : ψ(x, y, t) ≡ a2 (t − t0 )2 − (x − x0 )2 − (y − y0 )2 = 0 , (4.22)
     

ÿâëÿþùóþñÿ ãðàíèöåé äâóõ êîíóñîâ ñ âåðøèíàìè â òî÷êå (x0 , y0 , t0 ): âåðõ-
íåãî
                    n                        p                       o
     +                                                2
   K (x0, y0 , t0) = (x, y, t) : a(t − t0 ) > (x − x0) + (y − y0 ) 2   (4.23)

è íèæíåãî
                   n                            p                                   o
    −
  K (x0, y0, t0) = (x, y, t) : −a(t − t0) >         (x − x0   )2   + (y − y0   )2       , (4.24)

íàçûâàåìûõ ñîîòâåòñòâåííî êîíóñàìè áóäóùåãî è ïðîøëîãî (ñì. ðèñ. 4.2a).




                       (a)                                         (á)
                                     èñ. 4.2


   Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî óíêöèÿ ψ â (4.22) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (4.21)
â ëþáîé òî÷êå (x, y, t), ïðèíàäëåæàùåé ïîâåðõíîñòè S ≡ Γ+ (x0 , y0 , t0 ) ∪
Γ− (x0, y0, t0), ãäå Γ± (x0, y0, t0) = ∂K ±(x0, y0, t0 ). Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê
        ∂ψ                  ∂ψ               ∂ψ
           = 2a2 (t − t0 ),    = −2(x − x0),    = −2(y − y0 ),                            (4.25)
        ∂t                  ∂x               ∂y

                                       163

Страницы