Классические методы математической физики - 165 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

|x −
x
0
| =
p
(x
1
− x
0
1
)
2
+ (x
2
− x
0
2
)
2
+ ··· + ( x
n
− x
0
n
)
2
(x
0
, t
0
) ∈
R
n
× R
1
t
ψ
(x
0
, t
0
) S
(x
0
, t
0
)
Γ
+
(x
0
, t
0
)
Γ
−
(x
0
, t
0
)
at + (b, x) ≡ at +
n
X
i=1
b
i
x
i
= C.
b = (b
1
, b
2
, ..., b
n
) b
i
C |b| = 1
n = 1
∂
2
u
∂t
2
− a
2
∂
2
u
∂x
2
= f(x, t)
R
1
× R
1
t
a
∂ψ
∂x
,
∂ψ
∂t
≡
∂ψ
∂t
2
− a
2
∂ψ
∂x
2
= 0 .
(∂ψ/∂t+a∂ψ/∂x)(∂ψ/∂t−a∂ψ/∂x) =
0
ψ
ψ
∂ψ
∂t
+ a
∂ψ
∂x
= 0
∂ψ
∂t
− a
∂ψ
∂x
= 0 .
ψ
1
(x, t) ≡ x −at − C
1
= 0 ψ
2
(x, t) ≡ x + at − C
2
= 0 ,
x, t
C
1
C
2
(x
0
, t
0
) ∈ R
1
x
× R
1
t
íàçûâàåìûõ
       p       ñîîòâåòñòâåííî êîíóñàìè áóäóùåãî è ïðîøëîãî. Çäåñü |x −
x0| = (x1 − x01)2 + (x2 − x02)2 + · · · + (xn − x0n)2 .
    àññóæäàÿ, êàê è âûøå, ëåãêî ïîêàçûâàåì, ÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êè (x0 , t0 ) ∈
R × R1t óíêöèÿ ψ â (4.30) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (4.29). Ýòî îçíà÷à-
  n

åò, ÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êè (x0 , t0 ) ïîâåðõíîñòü S , îïðåäåëÿåìàÿ óðàâíåíè-
åì (4.30), ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ. Åå íàçûâàþò õàðàê-
òåðèñòè÷åñêèì êîíóñîì ñ âåðøèíîé â òî÷êå (x0, t0 ), ïðè÷åì âåðõíþþ åå
÷àñòü Γ+ (x0, t0 ) íàçûâàþò õàðàêòåðèñòè÷åñêèì êîíóñîì áóäóùåãî, à íèæ-
íþþ ÷àñòü Γ− (x0, t0 )  õàðàêòåðèñòè÷åñêèì êîíóñîì ïðîøëîãî. Êðîìå ïî-
ñòðîåííîãî ñåìåéñòâà õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé (êîíóñîâ), âîëíî-
âîå óðàâíåíèå (4.28) èìååò è äðóãîå ñåìåéñòâî õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ïîâåðõ-
íîñòåé, à èìåííî: ñåìåéñòâî êàñàòåëüíûõ ïëîñêîñòåé ê õàðàêòåðèñòè÷åñêèì
êîíóñàì (4.31) è (4.32). Óðàâíåíèå âòîðîãî ñåìåéñòâà õàðàêòåðèñòèê èìååò
âèä
                                           Xn
                        at + (b, x) ≡ at +     bixi = C.            (4.33)
                                            i=1
Çäåñü b = (b1 , b2 , ..., bn), bi è C  ëþáûå âåùåñòâåííûå ÷èñëà, ïðè÷åì |b| = 1.
    ÷àñòíîì ñëó÷àå n = 1 (4.28) ïåðåõîäèò â îäíîìåðíîå âîëíîâîå óðàâ-
íåíèå
                                   ∂ 2u      2
                                          2∂ u
                                        −a      = f (x, t)                 (4.34)
                                   ∂t2      ∂x2
íà ïëîñêîñòè R1 × R1t , à åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå èìååò âèä
                                     2             2
                           ∂ψ ∂ψ           ∂ψ            ∂ψ
                      a        ,        ≡        − a2       = 0.           (4.35)
                           ∂x ∂t           ∂t            ∂x
   Çàïèñàâ óêàçàííîå óðàâíåíèå â âèäå (∂ψ/∂t+a∂ψ/∂x)(∂ψ/∂t−a∂ψ/∂x) =
0, ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî óíêöèÿ ψ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (4.35)
òîãäà, êîãäà ψ óäîâëåòâîðÿåò îäíîìó èç óðàâíåíèé
                     ∂ψ    ∂ψ      ∂ψ    ∂ψ
                        +a    =0 è    −a    = 0.                          (4.36)
                     ∂t    ∂x      ∂t    ∂x
Èç ðåçóëüòàòîâ ï. 2.1 ñëåäóåò, ÷òî ðåøåíèå ïåðâîãî (ëèáî âòîðîãî) óðàâíå-
íèÿ â (4.36) ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå íà õàðàêòåðèñòèêàõ
    ψ1 (x, t) ≡ x − at − C1 = 0 ëèáî ψ2(x, t) ≡ x + at − C2 = 0,          (4.37)
îïèñûâàþùèõ ñîîòâåòñòâóþùèå ïðÿìûå íà ïëîñêîñòè x, t (ñì. ðèñ. 2.4á).
Çäåñü C1 è C2  ïðîèçâîëüíûå êîíñòàíòû. Îòñþäà è çàìå÷àíèÿ 4.1 ïðè-
õîäèì ê âûâîäó, ÷òî óêàçàííûå ïðÿìûå (4.37) è ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé äâà
èñêîìûõ ñåìåéñòâà õàðàêòåðèñòèê óðàâíåíèÿ (4.34). Ïðè ýòîì ÷åðåç ëþ-
áóþ òî÷êó (x0 , t0 ) ∈ R1x × R1t ïðîõîäÿò äâå õàðàêòåðèñòèêè, îïðåäåëÿåìûå

                                      165

Страницы