Классические методы математической физики - 164 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

a
∂ψ
∂x
,
∂ψ
∂y
,
∂ψ
∂t
= 4a
2
a
2
(t − t
0
)
2
− (x − x
0
)
2
− (y − y
0
)
2
.
a
∂ψ
∂x
,
∂ψ
∂y
,
∂ψ
∂t
≡ 0
S ≡ Γ
+
(x
0
, y
0
, t
0
) ∪ Γ
−
(x
0
, y
0
, t
0
).
S
(x
0
, y
0
, t
0
)
(x
0
, y
0
, t
0
)
Γ
+
(x
0
, y
0
, t
0
)
Γ
−
(x
0
, y
0
, t
0
)
S
S =
(x, y, z) : ψ(x, y, t) ≡ a
2
(t − t
0
)
2
− (x − x
0
)
2
− (y − y
0
)
2
= const 6= 0
,
n
∂
2
u
∂t
2
− a
2
∆u ≡
∂
2
u
∂t
2
− a
2
n
X
i=1
∂
2
u
∂x
2
i
= f(x, t), x = (x
1
, x
2
, ..., x
n
),
R
n
x
×R
1
t
a
∇ψ,
∂ψ
∂t
≡
∂ψ
∂t
2
− a
2
n
X
i=1
∂ψ
∂x
i
2
= 0
S.
S =
(x, t) : ψ(x, t) ≡ a
2
(t − t
0
)
2
− |x − x
0
|
2
= 0
,
x
0
= (x
0
1
, x
0
2
, ..., x
0
n
)
(x
0
, t
0
)
K
+
(x
0
, t
0
) = {(x, t) : a(t − t
0
) > |x − x
0
|}
K
−
(x
0
, t
0
) = {(x, t) : −a(t − t
0
) > |x − x
0
|},
òî
                    
       ∂ψ ∂ψ ∂ψ
                         = 4a2 a2 (t − t0 )2 − (x − x0)2 − (y − y0 )2 .    (4.26)
                                                                    
     a   ,  ,
       ∂x ∂y ∂t
Îòñþäà è (4.22) ñëåäóåò, ÷òî
                  
        ∂ψ ∂ψ ∂ψ
    a     ,    ,     ≡ 0 íà S ≡ Γ+ (x0, y0, t0 ) ∪ Γ− (x0, y0, t0).        (4.27)
        ∂x ∂y ∂t
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîâåðõíîñòü S , îïðåäåëÿåìàÿ óðàâíåíèåì (4.22), äëÿ ëþ-
áîé òî÷êè (x0, y0 , t0 ) ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé. Íèæå áóäåì ññûëàòüñÿ
íà íåå êàê íà õàðàêòåðèñòè÷åñêèé êîíóñ ñ âåðøèíîé â òî÷êå (x0 , y0 , t0 ),
ïðè÷åì âåðõíþþ åå ÷àñòü Γ+ (x0 , y0 , t0 ) áóäåì íàçûâàòü õàðàêòåðèñòè÷å-
ñêèì êîíóñîì áóäóùåãî, à íèæíþþ ÷àñòü Γ− (x0, y0 , t0 )  õàðàêòåðèñòè÷å-
ñêèì êîíóñîì ïðîøëîãî.
   Îòìåòèì, ÷òî ïîâåðõíîñòü S , îïèñûâàåìàÿ óðàâíåíèåì

S = (x, y, z) : ψ(x, y, t) ≡ a2 (t − t0 )2 − (x − x0)2 − (y − y0 )2 = const 6= 0 ,
     

íå óäîâëåòâîðÿåò (4.21). Ñëåäîâàòåëüíî, îíà íå ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷å-
ñêîé.
   Àíàëîãè÷íûå âûâîäû ñïðàâåäëèâû è äëÿ n-ìåðíîãî âîëíîâîãî óðàâíå-
íèÿ
                                n
     ∂ 2u    2    ∂ 2u  2
                          X ∂ 2u
          − a ∆u ≡ 2 − a         2 = f (x, t), x = (x1, x2 , ..., xn),     (4.28)
     ∂t2          ∂t      i=1
                              ∂x i

ðàññìàòðèâàåìîãî â Rnx × R1t , äëÿ êîòîðîãî îòâå÷àþùåå åìó õàðàêòåðèñòè-
÷åñêîå óðàâíåíèå èìååò âèä
                       2              n       2
                   ∂ψ          ∂ψ         X    ∂ψ
            a ∇ψ,       ≡            − a2             = 0 íà S.    (4.29)
                   ∂t          ∂t              ∂xi
                                              i=1

àññìîòðèì ïîâåðõíîñòü âèäà

          S = (x, t) : ψ(x, t) ≡ a2 (t − t0 )2 − |x − x0|2 = 0 ,           (4.30)
               

ãäå x0 = (x01 , x02, ..., x0n), ïðåäñòàâëÿþùóþ ñîáîé ãðàíèöó äâóõ êîíóñîâ (òî÷-
íåå ãèïåðêîíóñîâ) ñ âåðøèíàìè â òî÷êå (x0 , t0 ): âåðõíåãî

                  K +(x0, t0) = {(x, t) : a(t − t0 ) > |x − x0 |}          (4.31)

è íèæíåãî
                K −(x0, t0) = {(x, t) : −a(t − t0 ) > |x − x0|} ,          (4.32)

                                        164

Страницы