Классические методы математической физики - 162 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

ψ
x
1
, ..., x
n
x = (x
1
, x
2
, ..., x
n
)
ψ(x) = 0
S ψ(x) = 0
x
1
, ..., x
n
n
X
i,j=1
a
ij
(x)
∂ψ
∂x
i
∂ψ
∂x
j
= 0,
ψ
ψ(x
1
, ..., x
n
) = C,
C
C ψ
∂
2
u
∂t
2
− a
2
∆u ≡
∂
2
u
∂t
2
− a
2
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
= f(x, y, t)
R
2
x, y R
1
t
t
x
1
= x, x
2
= y, x
3
= t, a
11
= a
22
= −a
2
, a
33
= 1, a
ij
= 0, i 6= j.
(x, y, t) ∈ R
2
× R
1
t
   Óðàâíåíèå (4.9) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì õàðàêòåðèñòèê èëè õàðàêòå-
ðèñòè÷åñêèì óðàâíåíèåì äëÿ óðàâíåíèÿ (4.1). Ïîä÷åðêíåì, ÷òî õîòÿ (4.9)
îðìàëüíî èìååò âèä óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà
îòíîñèòåëüíî ψ , îíî ïî ñâîåìó îïðåäåëåíèþ èì íå ÿâëÿåòñÿ. Äåéñòâèòåëü-
íî, óðàâíåíèå (4.9) äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ íå òîæäåñòâåííî îòíîñèòåëüíî
x1, ..., xn, à òîëüêî äëÿ òî÷åê x = (x1, x2, ..., xn), óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ
ψ(x) = 0, ò.å. ëåæàùèõ íà èñêîìîé õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè.
   Ïîòðåáóåì òåïåðü äîïîëíèòåëüíî, ÷òîáû óðàâíåíèå (4.9) âûïîëíÿëîñü
íå òîëüêî íà ïîâåðõíîñòè S (ò. å. ïðè ψ(x) = 0), íî è òîæäåñòâåííî îòíî-
ñèòåëüíî x1 , ..., xn. Òîãäà ïîëó÷èì íåëèíåéíîå óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèç-
âîäíûõ 1ãî ïîðÿäêà
                               n
                              X          ∂ψ ∂ψ
                                 aij (x)           = 0,                   (4.17)
                            i,j=1
                                         ∂xi ∂xj
à èç åãî âèäà âûòåêàåò, ÷òî âñÿêîå ðåøåíèå ψ óðàâíåíèÿ (4.17), îòëè÷íîå
îò êîíñòàíòû, áóäåò äàâàòü öåëîå ñåìåéñòâî õàðàêòåðèñòèê

                               ψ(x1, ..., xn) = C,                        (4.18)

ãäå C  ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà.
   Çàìå÷àíèå 4.1. Ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîå, à èìåííî: äëÿ òîãî, ÷òîáû ñî-
îòíîøåíèå (4.18) îïðåäåëÿëî ñåìåéñòâî õàðàêòåðèñòèê, çàâèñÿùèõ îò ïðî-
èçâîëüíîé ïîñòîÿííîé C , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû óíêöèÿ ψ óäî-
âëåòâîðÿëà óðàâíåíèþ (4.17). Áîëåå òîãî, ìîæíî ïîêàçàòü [21, . 111℄, ÷òî
âñÿêóþ õàðàêòåðèñòèêó óðàâíåíèÿ (4.1) ìîæíî âêëþ÷èòü â ñåìåéñòâî âè-
äà (4.18). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî âñå âîçìîæíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (4.17)
îïðåäåëÿþò âñå õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè.
   4.2. Ïðèìåðû íàõîæäåíèÿ õàðàêòåðèñòèê. Â ýòîì ïóíêòå ìû çàé-
ìåìñÿ íàõîæäåíèåì õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé äëÿ òðåõ îñíîâíûõ
òèïîâ óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè è íåêîòîðûõ èõ íåëèíåéíûõ àíà-
ëîãîâ.
   Ïðèìåð 1. àññìîòðèì âîëíîâîå óðàâíåíèå


             ∂ 2u          ∂ 2u
                                    2
                                           ∂ 2u
                                                
                     2            2 ∂ u
                  − a ∆u ≡ 2 − a         +        = f (x, y, t)   (4.19)
             ∂t2           ∂t        ∂x2 ∂y 2
íà ïëîñêîñòè R2 èçìåíåíèÿ ïåðåìåííûõ x, y è âåùåñòâåííîé îñè R1t èçìåíå-
íèÿ âðåìåíè t. Ýòî óðàâíåíèå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå (4.1), åñëè ïîëîæèòü

   x1 = x, x2 = y, x3 = t, a11 = a22 = −a2 , a33 = 1, aij = 0, ïðè i 6= j.
                                                                       (4.20)
Ìû óæå çíàåì, ÷òî âîëíîâîå óðàâíåíèå (4.19) èìååò ãèïåðáîëè÷åñêèé òèï
â êàæäîé òî÷êå (x, y, t) ∈ R2 × R1t . Íàéäåì òåïåðü åãî õàðàêòåðèñòèêè.

                                      162

Страницы