Классические методы математической физики - 160 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

ξ
1
= 0
S x
0
∈ S
ξ
1
= 0
S
S ψ
a(x, ∇ψ(x)) =
n
X
i,j=1
a
ij
(x)
∂ψ(x)
∂x
i
∂ψ(x)
∂x
j
= 0
S.
S R
n
∇ψ(x
0
)
x
0
∈ S
a(x
0
, ∇ψ(x
0
)) = 0,
a(x
0
, ∇ψ(x
0
)) 6= 0.
S
a(x, ∇ψ(x)) = 0 ∀x ∈ S.
j ≤ n (∂/∂x
j
) a(x, ∇ψ(x)) 6= 0 ∀x ∈ S
S
x ∈ S
S
a(x, ∇ψ(x)) > 0 ∀x ∈ S,
a(x, ∇ψ(x)) < 0 ∀x ∈ S.
äëÿ óðàâíåíèÿ (4.7), çàäàííûå íà ãèïåðïëîñêîñòè ξ1 = 0 è èìåþùèå ðàñ-
ñìîòðåííûé âûøå ñïåöèàëüíûé âèä. Äðóãèìè ñëîâàìè, çàìåíà (4.6) êàê áû
âûïðÿìëÿåò ïîâåðõíîñòü S (â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 ∈ S ), ïåðåâîäÿ åå
â ó÷àñòîê ãèïåðïëîñêîñòè ξ1 = 0.  òàêîì ñëó÷àå èç ïðåäûäóùåãî àíàëèçà
ñëåäóåò, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû óñëîâèÿ Êîøè íà ïîâåðõíîñòè S ïðèâîäè-
ëè ê íåñîâìåñòíîñòè èëè íåîïðåäåëåííîñòè ïðè íàõîæäåíèè ïðîèçâîäíûõ
âòîðîãî ïîðÿäêà íà S , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû óíêöèÿ ψ â (4.5)
óäîâëåòâîðÿëà óñëîâèþ
                           n
                           X                 ∂ψ(x) ∂ψ(x)
           a(x, ∇ψ(x)) =           aij (x)               =0   íà   S.    (4.9)
                           i,j=1
                                              ∂xi ∂xj

  Îïðåäåëåíèå 4.1.     Ïîâåðõíîñòü S â Rn , îïèñûâàåìàÿ óðàâíåíèåì
(4.5), íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé äëÿ óðàâíåíèÿ (4.1), à ñîîòâåò-
ñòâóþùåå íàïðàâëåíèå íîðìàëè ∇ψ(x0 ) íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì,
â òî÷êå x0 ∈ S , åñëè
                          a(x0 , ∇ψ(x0)) = 0,                  (4.10)
è íåõàðàêòåðèñòè÷åñêîé, åñëè

                             a(x0 , ∇ψ(x0)) 6= 0.                       (4.11)

   Ïîâåðõíîñòü S íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ (èëè
õàðàêòåðèñòèêîé) äëÿ óðàâíåíèÿ (4.1), åñëè

                       a(x, ∇ψ(x)) = 0 ∀x ∈ S.                          (4.12)

Åñëè ïðè ýòîì äëÿ íåêîòîðîãî j ≤ n (∂/∂xj ) a(x, ∇ψ(x)) 6= 0 ∀x ∈ S ,
òî õàðàêòåðèñòèêà íàçûâàåòñÿ ïðîñòîé.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå îíà íàçû-
âàåòñÿ êðàòíîé. Ïîâåðõíîñòü S , íå èìåþùàÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî íà-
ïðàâëåíèÿ íîðìàëè íè â îäíîé òî÷êå x ∈ S , íàçûâàåòñÿ íåõàðàêòåðèñòè-
÷åñêîé èëè ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòüþ äëÿ óðàâíåíèÿ (4.1).
   Ñâîáîäíàÿ ïîâåðõíîñòü S íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâåííî îðèåíòèðîâàí-
íîé (èëè ïðîñòðàíñòâåííî ïîäîáíîé) ïîâåðõíîñòüþ, åñëè

                       a(x, ∇ψ(x)) > 0 ∀x ∈ S,                          (4.13)

è âðåìåííûì îáðàçîì îðèåíòèðîâàííîé (èëè âðåìåííî ïîäîáíîé) ïîâåðõ-
íîñòüþ, åñëè
                      a(x, ∇ψ(x)) < 0 ∀x ∈ S.                 (4.14)

   ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì 4.1 ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ.



                                         160

Страницы