Классические методы математической физики - 158 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

∂u
∂l
S
= ϕ
1
(x).
ϕ
0
, ϕ
1
S
S
n
l
l
u
S
x ∈ S
u
S
u
S S
u
∂
2
u/∂x
i
∂x
j
S
S
u
u|
x
1
=x
0
1
= ϕ
0
(x
2
, ..., x
n
),
∂u
∂x
1
x
1
=x
0
1
= ϕ
1
(x
2
, ..., x
n
),
x
1
= x
0
1
l n
x
1
x
1
= x
0
1
ϕ
0
ϕ
1
∂
2
u/∂x
2
1
∂
2
u/∂x
2
1
x
1
= x
0
1
a
11
(x
0
1
, x
2
, ..., x
n
) 6= 0
a
11
(x
0
1
, x
2
, ..., x
n
) = 0
                                    ∂u
                                             = ϕ1(x).                              (4.3)
                                    ∂l   S
Áóäåì ññûëàòüñÿ íà (4.2), (4.3) êàê íà óñëîâèÿ Êîøè, à íà óíêöèè ϕ0 , ϕ1
â (4.2), (4.3) êàê íà äàííûå Êîøè, ëèáî íà÷àëüíûå óíêöèè. àññìîòðèì
çàäà÷ó Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ (4.1). Îíà çàêëþ÷àåòñÿ â íàõîæäåíèè â íåêî-
òîðîé îêðåñòíîñòè ïîâåðõíîñòè S ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (4.1), óäîâëåòâî-
ðÿþùåãî óñëîâèÿì Êîøè (4.2), (4.3).
   Î÷åâèäíî, ÷òî äàííûå Êîøè îïðåäå-                l       n   l
ëÿþò óíêöèþ u è âñå åå ÷àñòíûå ïðî-
èçâîäíûå 1-ãî ïîðÿäêà íà ïîâåðõíîñòè S .
Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî óðàâíåíèå (4.1)
âûïîëíÿåòñÿ â êàæäîé òî÷êå x ∈ S , ïðè-
                                                                    S
÷åì âñå êîýèöèåíòû è ðåøåíèå u óðàâ-
íåíèÿ (4.1) áåñêîíå÷íî äèåðåíöèðóå-
ìû â îêðåñòíîñòè ïîâåðõíîñòè S . ßñíî,
÷òî åñëè u  èñêîìîå ðåøåíèå çàäà÷è Êî-               èñ. 4.1.
øè (4.1)(4.3) â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ïî-
âåðõíîñòè S , òî â ýòîé îêðåñòíîñòè òàê æå, êàê íà ñàìîé ïîâåðõíîñòè S ,
ìîæíî íàéòè ïðîèçâîäíûå îò u ëþáîãî ïîðÿäêà. Ïðè ýòîì ïðîèçâîäíûå
âòîðîãî ïîðÿäêà ∂ 2 u/∂xi∂xj íåîáõîäèìî óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ (4.1).
Äðóãèìè ñëîâàìè óðàâíåíèå (4.1) èãðàåò ðîëü íåîáõîäèìîãî óñëîâèÿ ñîâ-
ìåñòíîñòè óêàçàííûõ ïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà. Åñëè, äàëåå, óðàâ-
íåíèå (4.1) ïðîäèåðåíöèðîâàòü îäèí èëè íåñêîëüêî ðàç, òî ïîëó÷åí-
íîå óðàâíåíèå íà S áóäåò èãðàòü ðîëü íåîáõîäèìîãî óñëîâèÿ ñîâìåñòíîñòè
äëÿ ïðîèçâîäíûõ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà. Ñ ó÷åòîì ïðèâåäåííîãî àíàëè-
çà ñîðìóëèðóåì òåïåðü ñëåäóþùóþ âñïîìîãàòåëüíóþ çàäà÷ó: ñ ïîìîùüþ
óðàâíåíèÿ (4.1) è óñëîâèé Êîøè (4.2), (4.3) îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü íà
ïîâåðõíîñòè S âñå ïðîèçâîäíûå âòîðîãî è áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêîâ îò èñ-
êîìîãî ðåøåíèÿ u.
   àññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé, êîãäà óñëîâèÿ Êîøè èìåþò âèä
                                              ∂u
             u|x1 =x01 = ϕ0 (x2, ..., xn),                    = ϕ1(x2, ..., xn),   (4.4)
                                              ∂x1   x1 =x01

ò. å. êîãäà äàííûå Êîøè çàäàíû íà ãèïåðïëîñêîñòè x1 = x01 , à â êà÷åñòâå ïî-
ëÿ l âûáðàíî ïîëå íîðìàëåé n ê ýòîé ãèïåðïëîñêîñòè, íàïðàâëåííîå ïî îñè
x1. Óñëîâèÿ (4.4), î÷åâèäíî, ïîçâîëÿþò îïðåäåëèòü ïðè x1 = x01 ( ïîìîùüþ
äèåðåíöèðîâàíèÿ óíêöèè ϕ0 èëè ϕ1 ) âñå ïðîèçâîäíûå ïåðâîãî ïîðÿä-
êà è âñå ïðîèçâîäíûå âòîðîãî ïîðÿäêà, êðîìå ∂ 2 u/∂x21. ×òîáû îïðåäåëèòü
∂ 2u/∂x21, íåîáõîäèìî âîñïîëüçîâàòüñÿ ñàìèì óðàâíåíèåì (4.1), ïîëîæèâ â
íåì x1 = x01 . Íà ýòîì ïóòè âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ: 1) a11 (x01 , x2, ..., xn) 6= 0,
2) a11 (x01, x2 , ..., xn) = 0.

                                             158

Страницы