Классические методы математической физики - 167 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

ψ
1
ψ
2
∂ψ
1
∂t
+ a(x, t)
∂ψ
1
∂x
= 0
∂ψ
2
∂t
− a(x, t)
∂ψ
2
∂x
= 0.
dx
dt
= a(x, t), x|
t=0
= x
0
,
dx
dt
= −a(x, t), x|
t=t
0
= x
0
.
ψ
i
i
ψ
i
(x, t) = C
i
i = 1, 2
a t
x (x
0
, t
0
)
n
∂u
∂t
− a
2
n
X
i=1
∂
2
u
∂x
2
i
= f
R
n
× R
1
t
n
X
i=1
∂ψ
∂x
i
2
= 0.
R
n
×R
1
t
ψ(x, t)
= t − const
t = const
n
∂u
∂t
− a
2
n
X
i=1
∂
2
u
∂x
2
i
= F
x, t, u, ∇u,
∂u
∂t
,
ïðîèçâîëüíûå êîíñòàíòû, à óíêöèè ψ1 è ψ2 ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè ñëåäó-
þùèõ äâóõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ 1-ãî ïîðÿäêà
              ∂ψ1           ∂ψ1     ∂ψ2           ∂ψ2
                  + a(x, t)     =0è     − a(x, t)     = 0.         (4.43)
               ∂t           ∂x       ∂t           ∂x
Èç ðåçóëüòàòîâ ï.2.4 è 2.5 âûòåêàåò, ÷òî íàõîæäåíèå ðåøåíèé êàæäîãî èç
óðàâíåíèé 1-ãî ïîðÿäêà â (4.43) ñâîäèòñÿ ê îïðåäåëåíèþ õàðàêòåðèñòèê
äàííîãî óðàâíåíèÿ. Ïîñëåäíèå îïðåäåëÿþòñÿ êàê èíòåãðàëüíûå êðèâûå
ñëåäóþùèõ çàäà÷ Êîøè äëÿ îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé:
        dx                        dx
           = a(x, t), x|t=0 = x0,    = −a(x, t), x|t=t0 = x0.      (4.44)
        dt                        dt
Ïðè ýòîì óíêöèÿ ψi ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì i-ãî óðàâíåíèÿ â (4.43) òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà ñîîòíîøåíèå ψi (x, t) = Ci îïðåäåëÿåò ïåðâûé èíòåãðàë
ñîîòâåòñòâóþùåãî óðàâíåíèÿ â (4.44), i = 1, 2.
   Èç òåîðèè îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé èçâåñòíî [51℄,
÷òî â ñëó÷àå, êîãäà óíêöèÿ a íåïðåðûâíà ïî t è äèåðåíöèðóåìà ïî
x, ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó (x0, t0) ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè ïðîõîäèò åäèí-
ñòâåííàÿ èíòåãðàëüíàÿ êðèâàÿ ïåðâîé çàäà÷è Êîøè â (4.44), îïðåäåëÿþùàÿ
õàðàêòåðèñòèêó ïåðâîãî óðàâíåíèÿ â (4.43), è åäèíñòâåííàÿ èíòåãðàëüíàÿ
êðèâàÿ âòîðîé çàäà÷è Êîøè â (4.44), îïðåäåëÿþùàÿ õàðàêòåðèñòèêó âòî-
ðîãî óðàâíåíèÿ â (4.43). Óêàçàííûå õàðàêòåðèñòèêè ïî ïîñòðîåíèþ îáðà-
çóþò äâà èñêîìûõ ñåìåéñòâà õàðàêòåðèñòèê äëÿ èñõîäíîãî êâàçèëèíåéíîãî
óðàâíåíèÿ (4.41).
   Ïðèìåð 2. àññìîòðèì n  ìåðíîå óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè

                                      n
                                  X ∂ 2u
                           ∂u   2
                              −a         2 =f                      (4.45)
                           ∂t     i=1
                                      ∂x i

â ïðîñòðàíñòâå Rn × R1t . Åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå èìååò âèä
                               n      2
                              X    ∂ψ
                                          = 0.                     (4.46)
                                i=1
                                   ∂xi

Ïîñêîëüêó ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ (4.45) â Rn ×R1t ÿâëÿþòñÿ óíêöèè ψ(x, t)
= t − const, òî åäèíñòâåííûìè õàðàêòåðèñòèêàìè óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîä-
íîñòè (4.45) ÿâëÿþòñÿ ãèïåðïëîñêîñòè t = const.
   Àíàëîãè÷íûå óòâåðæäåíèÿ ñïðàâåäëèâû è äëÿ n  ìåðíîãî êâàçèëèíåé-
íîãî ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ âèäà
                           n   2
                                                      
                   ∂u      X ∂   u                  ∂u
                      − a2         = F x, t, u, ∇u,      ,       (4.47)
                   ∂t     i=1
                             ∂x2i                   ∂t

                                      167

Страницы