Классические методы математической физики - 168 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

∂u
∂t
−
n
X
i,j=1
a
ij
(x, t)
∂
2
u
∂x
i
∂x
j
= F (x, t, u, ∇u,
∂u
∂t
),
n
X
i,j=1
a
ij
(x, t)
∂ψ
∂x
i
∂ψ
∂x
j
= 0.
ψ(x, t) = t−const
t = const
R
n
∆u =
n
X
i=1
∂
2
u
∂x
2
i
= −f.
R
n
∆u + k
2
u = −f,
R
n
∆u = f(x, u, ∇u)
n
X
i,j=1
a
ij
(x)
∂
2
u
∂x
i
∂x
j
= f(x, u, ∇u)
a
ij
(x)
à òàêæå áîëåå îáùåãî êâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ âèäà
                    n
              ∂u X                 ∂ 2u                   ∂u
                −      aij (x, t)        = F (x, t, u, ∇u, ),      (4.48)
              ∂t i,j=1            ∂xi∂xj                  ∂t

ïàðàáîëè÷åñêîãî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (1.22). Äåéñòâèòåëüíî, åãî õà-
ðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå èìååò âèä
                         n
                         X                    ∂ψ ∂ψ
                                 aij (x, t)           = 0.         (4.49)
                         i,j=1
                                              ∂xi ∂xj

ßñíî, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè (1.22) åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (4.49)
ÿâëÿåòñÿ óíêöèÿ ψ(x, t) = t−const. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî óðàâíåíèå (4.48),
êàê è (4.45), ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (1.22) èìåþò ñâîèìè õàðàêòåðèñòè-
êàìè ãèïåðïëîñêîñòè t = const.
  Ïðèìåð 3. àññìîòðèì â ïðîñòðàíñòâå R óðàâíåíèå Ïóàññîíà
                                            n

                                     n
                                     X ∂ 2u
                           ∆u =                      = −f.         (4.50)
                                      i=1
                                              ∂x2i

Åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ïî-ïðåæíåìó èìååò âèä (4.46), îäíàêî,
â îòëè÷èå îò óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè (4.45), åãî ñëåäóåò ðàññìàòðè-
âàòü â ïðîñòðàíñòâå Rn . Ñ ó÷åòîì ýòîãî ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî óðàâíåíèå
(4.50) íå èìååò âåùåñòâåííûõ õàðàêòåðèñòèê. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ðå÷ü èäåò î
âåùåñòâåííûõ õàðàêòåðèñòèêàõ óðàâíåíèÿ (4.50), îïðåäåëÿåìûõ ÷åðåç âå-
ùåñòâåííûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (4.46). Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â ïîëå êîì-
ïëåêñíûõ ÷èñåë óðàâíåíèå (4.46) èìååò äâà ñåìåéñòâà ìíèìûõ ðåøåíèé,
êîòîðûì îòâå÷àåò äâà ñåìåéñòâà ìíèìûõ õàðàêòåðèñòèê óðàâíåíèÿ (4.50).
   Àíàëîãè÷íûé àêò ñïðàâåäëèâ è äëÿ óðàâíåíèÿ åëüìãîëüöà

                                 ∆u + k 2u = −f,
ðàññìàòðèâàåìîãî â ïðîñòðàíñòâå Rn , à òàêæå äëÿ ïðîèçâîëüíîãî êâàçè-
ëèíåéíîãî ýëëèïòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ∆u = f (x, u, ∇u), ãëàâíàÿ ÷àñòü êî-
òîðîãî ñîâïàäàåò ñ îïåðàòîðîì Ëàïëàñà, è, êðîìå òîãî, äëÿ áîëåå îáùåãî
ýëëèïòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ âèäà
                     n
                     X              ∂ 2u
                           aij (x)           = f (x, u, ∇u)
                     i,j=1
                                   ∂x i ∂x j


ïðè óñëîâèè, ÷òî êîýèöèåíòû aij (x) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ ýëëèïòè÷-
íîñòè (1.18).

                                         168

Страницы