Классические методы математической физики - 169 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

R
x
R
t
x t
R
2
≡ R
x
× R
t
x t
∂
2
u
∂t
2
= a
2
∂
2
u
∂x
2
, a = const,
Q
R
2
u : Q → R Q
∂
2
u/∂t
2
∂
2
u/∂x
2
(x, t) ∈ Q
u Q
u ∈ C
2
(Q) u
Q
u ∈ C
2
(R
2
)
ξ η U
ξ = x − at, η = x + at, U(ξ, η) = u(x, t).
∂
2
U/∂ξ∂η = 0
∂/∂η(∂U/∂ξ) = 0 η
∂U/∂ξ = ω(ξ) ω ξ
ξ η
U(ξ, η) =
R
ω( ξ)dξ + θ
2
(η) θ
2
η
R
ω( ξ)dξ = θ
1
(ξ)
U(ξ, η) = θ
1
(ξ) + θ
2
(η)
x, t
u(x, t) = θ
1
(x − at) + θ
2
(x + at).
u
u
  ËÀÂÀ 3. Óðàâíåíèÿ ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà
    è âîëíîâûå ïðîöåññû â ïðîñòðàíñòâå


    Ÿ1. Îäíîìåðíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå (óðàâíåíèå
        êîëåáàíèÿ ñòðóíû). Ôîðìóëà Äàëàìáåðà

  1.1. Íåîãðàíè÷åííàÿ ñòðóíà. Ôîðìóëà Äàëàìáåðà.           Îáîçíà÷èì ÷å-
ðåç Rx (ëèáî Rt ) âåùåñòâåííóþ îñü, íà êîòîðîé èçìåíÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâåí-
íàÿ ïåðåìåííàÿ x (ëèáî âðåìåííàÿ ïåðåìåííàÿ t). àññìîòðèì íà ïëîñêîñòè
R2 ≡ Rx × Rt ïåðåìåííûõ x è t îäíîìåðíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå
                        ∂ 2u     2
                               2∂ u
                             =a     , a = const,                   (1.1)
                        ∂t2     ∂x2
ìîäåëèðóþùåå, íàïðèìåð, ïðîöåññ ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé áåñêîíå÷íîé îä-
íîðîäíîé ñòðóíû. åøåíèåì óðàâíåíèÿ (1.1) â íåêîòîðîé îáëàñòè Q ïëîñ-
êîñòè R2 íàçîâåì óíêöèþ u : Q → R, èìåþùóþ â Q âòîðûå ïðîèçâîäíûå
∂ 2u/∂t2 è ∂ 2u/∂x2, óäîâëåòâîðÿþùèå â êàæäîé òî÷êå (x, t) ∈ Q óðàâíå-
íèþ (1.1). Åñëè ê òîìó æå óíêöèÿ u íåïðåðûâíà â Q âìåñòå ñî âñåìè
ïðîèçâîäíûìè äî âòîðîãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî (ýòîò àêò ñõåìàòè÷åñêè
çàïèñûâàåòñÿ â âèäå: u ∈ C 2 (Q)), òî óêàçàííóþ óíêöèþ u áóäåì íàçûâàòü
êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1.1) â îáëàñòè Q.
   Ïîñòàâèì â ýòîì ïóíêòå ñâîåé öåëüþ âûâåñòè ÿâíóþ îðìóëó äëÿ êëàñè-
÷åñêîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.1). Ñ ýòîé öåëüþ, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ðåøåíèå
u ∈ C 2(R2 ) óðàâíåíèÿ (1.1) ñóùåñòâóåò, ââåäåì íîâûå íåçàâèñèìûå ïåðå-
ìåííûå ξ è η è çàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ U ïî îðìóëàì

               ξ = x − at,   η = x + at,   U (ξ, η) = u(x, t).     (1.2)

 íîâûõ ïåðåìåííûõ óðàâíåíèå (1.1) ïðèìåò âèä ∂ 2 U/∂ξ∂η = 0. Ïåðå-
ïèñàâ åãî â âèäå ∂/∂η(∂U/∂ξ) = 0 è èíòåãðèðóÿ ïî ïåðåìåííîé η , ïî-
ëó÷àåì, ÷òî ∂U/∂ξ = ω(ξ), ãäå ω  ïðîèçâîëüíàÿ óíêöèÿ îò ξ . Èíòå-
ãðèðóÿ ýòîR óðàâíåíèå ïî ξ , ðàññìàòðèâàÿ η êàê ïàðàìåòð, âûâîäèì, ÷òî
U (ξ, η)R = ω(ξ)dξ + θ2(η), ãäå θ2  ïðîèçâîëüíàÿ óíêöèÿ îò η . Ïîëàãàÿ
äàëåå ω(ξ)dξ = θ1 (ξ), ïîëó÷èì U (ξ, η) = θ1 (ξ) + θ2 (η). Âîçâðàùàÿñü ê
ñòàðûì ïåðåìåííûì x, t, áóäåì èìåòü

                    u(x, t) = θ1(x − at) + θ2(x + at).             (1.3)

   Èòàê, ïðåäïîëîæèâ, ÷òî êëàñè÷åñêîå ðåøåíèå u óðàâíåíèÿ (1.1) ñóùå-
ñòâóåò, ìû äîêàçàëè, ÷òî îíî íåîáõîäèìî ïðåäñòàâëÿåòñÿ îðìóëîé (1.3).
Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîå, à èìåííî: óíêöèÿ u,
îïðåäåëÿåìàÿ îðìóëîé (1.3), åñòü êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.1),

                                    169

Страницы