Классические методы математической физики - 170 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

θ
1
θ
2
u ∈ C
2
(R
2
)
R
2
(x, t) ∈ R
2
θ
1
∈ C
2
(R) θ
2
∈ C
2
(R)
θ
2
= 0
u
1
(x, t) = θ
1
(x − at).
t = 0
x = c x
a x = c + at x −at = c
θ
1
(c)
u
1
θ
1
a
θ
1
a u
1
θ
1
a u
2
u
2
(x, t) = θ
2
(x + at),
a
θ
2
u
1
≡ θ
1
(x − at) u
2
≡ θ
2
(x + at)
θ
1
(x − at)
θ
1
: R → R x − at
u
1
: R
2
→ R (x, t)
θ
1
(x −at)
θ
2
(x + at)
t
åñëè θ1 è θ2  ïðîèçâîëüíûå äâàæäû íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìûå óíê-
öèè ñâîèõ àðãóìåíòîâ. Ñîðìóëèðóåì ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû â âèäå ëåì-
ìû.
   Ëåììà 1.1. Ôóíêöèÿ u ∈ C (R ) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì âîëíîâîãî óðàâ-
                                2  2

íåíèÿ (1.1) íà ïëîñêîñòè R2 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà â êàæäîé òî÷êå
(x, t) ∈ R2 ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå (1.3), ãäå θ1 ∈ C 2(R) è θ2 ∈ C 2(R)
 ïðîèçâîëüíûå óíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé.
   åøåíèå (ëèáî îðìóëà) (1.3) íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì (ëèáî îðìóëîé)
Äàëàìáåðà â ÷åñòü èçâåñòíîãî ðàíöóçñêîãî ìàòåìàòèêà, ìåõàíèêà è è-
ëîñîà J.L. D'Elembert (17171783).
   Âûÿñíèì èçè÷åñêèé ñìûñë ðåøåíèÿ Äàëàìáåðà. àññìîòðèì ñíà÷àëà
÷àñòíûé ñëó÷àé, êîãäà θ2 = 0, ò. å. êîãäà ðåøåíèå (1.3), îïèñûâàþùåå îò-
êëîíåíèå ñòðóíû îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, èìååò âèä
                           u1(x, t) = θ1(x − at).                      (1.4)
Ïóñòü íàáëþäàòåëü (ñòóäåíò), âûéäÿ â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t = 0 èç
òî÷êè x = c ñòðóíû äâèæåòñÿ â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè x ñî ñêî-
ðîñòüþ a, ò. å. åãî àáñöèññà ìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó x = c + at (èëè x − at = c).
Òîãäà äëÿ íåãî ñìåùåíèå ñòðóíû, îïðåäåëÿåìîå îðìóëîé (1.4), áóäåò îñòà-
âàòüñÿ âñå âðåìÿ ïîñòîÿííûì è ðàâíûì θ1 (c). Äðóãèìè ñëîâàìè, â ïðîöåññå
ñâîåãî äâèæåíèÿ îí áóäåò âñå âðåìÿ âèäåòü òîò æå ïðîèëü, ÷òî è â íà÷àëü-
íîé ìîìåíò. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî óíêöèÿ u1 â (1.4) îïèñûâàåò ïåðåìåùåíèå
ïðîèëÿ θ1 âïðàâî (â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè) ñî ñêîðîñòüþ a. Ôè-
çèêè â òàêîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ïî ñòðóíå áåæèò (èëè ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ)
âïðàâî âîëíà ñ ïðîèëåì θ1 è ñêîðîñòüþ a. Òàêèì îáðàçîì, óíêöèÿ u1
îïèñûâàåò áåãóùóþ (èëè ðàñïðîñòðàíÿþùóþñÿ) âïðàâî âîëíó ñ ïðîèëåì
θ1 è ñêîðîñòüþ a. Òî÷íî òàê æå óíêöèÿ u2 , îïðåäåëÿåìàÿ îðìóëîé
                           u2(x, t) = θ2(x + at),                      (1.5)
îïèñûâàåò âîëíó, ðàñïðîñòðàíÿþùóþñÿ âëåâî ñ òîé æå ñêîðîñòüþ a è ïðî-
èëåì θ2 . Äëÿ ïðîñòîòû íèæå ìû áóäåì òàêæå ññûëàòüñÿ íà óíêöèè
u1 ≡ θ1(x − at) è u2 ≡ θ2(x + at) êàê íà ïðÿìóþ è îáðàòíóþ âîëíû.
   Çàìå÷àíèå 1.1. Ñòðîãî ãîâîðÿ, θ1 (x − at) ÿâëÿåòñÿ íå óíêöèåé, à
çíà÷åíèåì óíêöèè θ1 : R → R â òî÷êå x − at, ëèáî çíà÷åíèåì óíêöèè
äâóõ àðãóìåíòîâ u1 : R2 → R â òî÷êå (x, t). Îäíàêî, ñëåäóÿ óñòîÿâøåéñÿ
èçè÷åñêîé òðàäèöèè, ìû ÷àñòî áóäåì ññûëàòüñÿ íà âûðàæåíèå θ1 (x − at)
êàê íà ñîîòâåòñòâóþùóþ óíêöèþ.Ýòî æå ïðàâèëî áóäåò îòíîñèòüñÿ è ê
θ2(x + at), à òàêæå ê äðóãèì àíàëîãè÷íûì âûðàæåíèÿì.
   Íà îñíîâàíèè âûøåñêàçàííîãî ìîæíî ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî ðåøåíèå
(1.3) óðàâíåíèÿ (1.1) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó èëè ñóïåðïîçèöèþ ïðÿìîé
è îáðàòíîé ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ âîëí. Ýòî ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó ãðà-
è÷åñêîìó ñïîñîáó ïîñòðîåíèÿ îðìû ñòðóíû â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè t.

                                    170

Страницы