Классические методы математической физики - 172 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

x
x
t
t
G
G
Q
2
1
1
1
2
x
x
Q
Q
t
D
( )t
D
( )t
11
x
x
t
t
t
2
1
1
2
x
x
G
G
2
2
Q
Q
Q
x
1
< x − at < x
2
Q u
1
D(t)
t t
u
u 6= 0
Q
′
Q
′′
D
′
D
′′
t u
1
t D D
′′
D
′
Γ
′′
1
u
1
Q
Q
′′
Γ
′
1
u
1
Q
Q
′
u
2
≡ θ
2
(x + at) θ
2
(x
1
, x
2
)
˜
Q
u
2
˜
Q
′
˜
Q
′′
Γ
′′
2
Γ
′
2
u
2
x 6∈ [x
1
, x
2
]
(t
1
, t
2
)
x
x
t Q
˜
Q
t
x > x
2
x < x
1
         t                              G1                               t
        t2                                                  G2               t2
                                        G1
                                                            G2               t1
             D (t1)       D (t1)
        t
             Q        Q         Q                                    Q                  Q   Q

             x1       x2            x        x                   x                  x1      x2   x
                          (à)                                                     (á)


                                                 èñ. 1.1


x1 < x − at < x2 (äëÿ íàãëÿäíîñòè îíà çàøòðèõîâàíà íà ðèñ. 1.1à). Ñ
ó÷åòîì ýòîãî îáëàñòü Q íàçîâåì íîñèòåëåì âîëíû u1 , à åå ñå÷åíèå D(t) â
ìîìåíò t  íîñèòåëåì âîëíû â ìîìåíò t. (Çäåñü ìû äîïóñêàåì íåòî÷íîñòü â
ìàòåìàòè÷åñêîì ïëàíå, ïîñêîëüêó ïîä íîñèòåëåì íåïðåðûâíîé óíêöèè u
ìàòåìàòèêè ïîíèìàþò çàìûêàíèå ìíîæåñòâà òî÷åê, ãäå u 6= 0).  îáëàñòÿõ
Q′ è Q′′ (ëèáî D′ è D′′ â ìîìåíò t) óíêöèÿ u1 ðàâíà íóëþ. Ôèçè÷åñêè ýòî
îçíà÷àåò, ÷òî âîëíîâîé ïðîöåññ, îïèñûâàåìûé óíêöèåé (1.4), ïðîèñõîäèò
â ìîìåíò t ëèøü â îáëàñòè D, ïðè÷åì äî îáëàñòè D′′ âîëíà åùå íå äîøëà,
òàê ÷òî òàì åùå íàáëþäàåòñÿ ïîêîé, à ÷åðåç îáëàñòü D′ âîëíà óæå ïðîøëà,
òàê ÷òî òàì óæå íàñòóïèë ïîêîé.  ñâîþ î÷åðåäü õàðàêòåðèñòèêà Γ′′1 â (1.8)
èìååò ñìûñë ïåðåäíåãî ðîíòà âîëíû u1 , îòäåëÿþùåãî íîñèòåëü Q âîëíû
(1.4) îò ïåðåäíåé îáëàñòè ïîêîÿ Q′′ , òîãäà êàê õàðàêòåðèñòèêà Γ′1 èìååò
ñìûñë çàäíåãî ðîíòà âîëíû u1 , îòäåëÿþùåãî íîñèòåëü Q âîëíû (1.4) îò
çàäíåé îáëàñòè ïîêîÿ Q′ . Ïî àíàëîãè÷íîé ñõåìå èññëåäóþòñÿ ñâîéñòâà
îáðàòíîé âîëíû u2 ≡ θ2 (x + at) â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî óíêöèÿ θ2 îòëè÷íà
îò íóëÿ ëèøü â èíòåðâàëå (x1 , x2 ). åîìåòðè÷åñêàÿ êàðòèíà èçîáðàæåíà íà
ðèñ. 1.1á, ãäå îáëàñòü Q̃ èìååò ñìûñë íîñèòåëÿ âîëíû u2 , Q̃′ è Q̃′′ ÿâëÿþòñÿ
îáëàñòÿìè ïîêîÿ, à Γ′′2 è Γ′2 èìåþò ñìûñë ïåðåäíåãî è çàäíåãî ðîíòîâ
âîëíû u2 .
   Ïóñòü x 6∈ [x1 , x2 ]  ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà. Èç ïðåäûäóùåãî àíàëèçà âû-
òåêàåò, ÷òî äëÿ ëþáîé òàêîé òî÷êè ñóùåñòâóåò èíòåðâàë âðåìåíè (t1 , t2 ),
â òå÷åíèå êîòîðîãî â x ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âîëíà. ×òîáû îïðåäåëèòü ãåî-
ìåòðè÷åñêè óêàçàííûé èíòåðâàë, äîñòàòî÷íî ïðîâåñòè ÷åðåç òî÷êó x ëó÷
ïàðàëëåëüíî îñè t, íàéòè åãî ïåðåñå÷åíèå ñ îáëàñòüþ Q äëÿ ïðÿìîé âîëíû
ëèáî ñ Q̃ äëÿ îáðàòíîé âîëíû è ñïðîåêòèðîâàòü ýòî ïåðåñå÷åíèå íà îñü t.
Ñõåìàòè÷åñêè óêàçàííîå ïîñòðîåíèå èçîáðàæåíî íà ðèñ. 1.1à äëÿ x > x2 è
íà ðèñ. 1.1á äëÿ x < x1 .
   1.2. Çàäà÷à Êîøè äëÿ îäíîìåðíîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ. àñ-
ñìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ (1.1). Îíà çàêëþ÷àåòñÿ â íàõîæäåíèè


                                                   172

Страницы