Классические методы математической физики - 173 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u R
2
+
C
2
(R
2
+
)
∩C
1
(
R
2
+
)
u|
t=0
= ϕ(x),
∂u
∂t
t=0
= ψ(x), x ∈ R.
u ∈ C
2
(R
2
+
) u
R
2
+
u ∈ C
1
(R
2
+
)
u ∂u/∂t ∂u/∂x R
2
+
R
2
+
=
R
x
× {t ∈ R
t
: t ≥ 0} u ∈ C
1
(R
2
+
)
u
t = 0 R
2
+
ϕ ψ
ϕ ψ R
x
u
θ
1
θ
2
θ
1
(x) + θ
2
(x) = ϕ(x), −a[θ
′
1
(x) − θ
′
2
(x)] = ψ(x).
θ
1
(x)−θ
2
(x) = −
1
a
R
x
0
ψ(ξ)dξ+C
C
θ
1
(x) =
1
2
ϕ(x) −
1
2a
Z
x
0
ψ(ξ)dξ +
C
2
, θ
2
(x) =
1
2
ϕ(x) +
1
2a
Z
x
0
ψ(ξ)dξ −
C
2
.
u(x, t) =
ϕ(x − at) + ϕ(x + at)
2
+
1
2a
x+at
Z
x−at
ψ(ξ)dξ, (x, t) ∈ R
2
+
.
ϕ ∈ C
2
(R), ψ ∈ C
1
(R).
êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ u óðàâíåíèÿ (1.1) â ïîëóïëîñêîñòè R2+ èç ïðîñòðàí-
ñòâà C 2 (R2+ )
∩C 1(R2+), óäîâëåòâîðÿþùåãî íà÷àëüíûì óñëîâèÿì
                                    ∂u
                   u|t=0 = ϕ(x),               = ψ(x), x ∈ R.                  (1.10)
                                    ∂t   t=0

Íàïîìíèì, ÷òî óñëîâèå u ∈ C 2 (R2+) îçíà÷àåò, ÷òî óíêöèÿ u íåïðåðûâíà
âìåñòå ñî âñåìè ïðîèçâîäíûìè äî âòîðîãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî â îò-
êðûòîé îáëàñòè  ïîëóïëîñêîñòè R2+ . Â òî æå âðåìÿ óñëîâèå u ∈ C 1 (R2+)
îçíà÷àåò, ÷òî u âìåñòå ñ ïðîèçâîäíûìè ∂u/∂t è ∂u/∂x íåïðåðûâíà â R2+
è äîïóñêàåò íåïðåðûâíîå ïðîäîëæåíèå íà çàìêíóòóþ ïîëóïëîñêîñòü R2+ =
Rx × {t ∈ Rt : t ≥ 0}. Ïîñëåäíåå òðåáîâàíèå u ∈ C 1(R2+) îáóñëîâëåíî
íåîáõîäèìîñòüþ âûïîëíåíèÿ ðåøåíèåì u íà÷àëüíûõ óñëîâèé (1.10) íà ãðà-
íèöå t = 0 çàìêíóòîé ïîëóïëîñêîñòè R2+ . Ôèçè÷åñêè çàäà÷à (1.1), (1.10)
îïèñûâàåò ïðîöåññ êîëåáàíèé áåñêîíå÷íîé ñòðóíû, âûçûâàåìûõ åå íà÷àëü-
íûì îòêëîíåíèåì ϕ è íà÷àëüíûì èìïóëüñîì ψ . Ââèäó íåîãðàíè÷åííîñòè
ñòðóíû óíêöèè ϕ è ψ çàäàíû íà âñåé âåùåñòâåííîé îñè Rx .
   Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðåøåíèå u çàäà÷è (1.1), (1.10) ñóùåñòâóåò. Òîãäà â
ñèëó ëåììû 1.1 îíî íåîáõîäèìî ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå (1.3). Ñëåäîâàòåëüíî,
äëÿ åãî íàõîæäåíèÿ äîñòàòî÷íî ïîäîáðàòü óíêöèè θ1 è θ2 â (1.3) òàê,
÷òîáû èõ ñóììà óäîâëåòâîðÿëà îáîèì óñëîâèÿì â (1.10). Ïîäñòàâëÿÿ (1.3)
â (1.10), ïîëó÷èì
              θ1(x) + θ2 (x) = ϕ(x), −a[θ1′ (x) − θ2′ (x)] = ψ(x).        (1.11)
                                                            Rx
Èíòåãðèðóÿ âòîðîå ðàâåíñòâî, èìååì θ1 (x)−θ2(x) = − a1 0 ψ(ξ)dξ+C , ãäå C
 ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Ñêëàäûâàÿ ýòî ðàâåíñòâî ñ ïåðâûì ðàâåíñòâîì
â (1.11) ëèáî âû÷èòàÿ, ïðèõîäèì ê äâóì ñîîòíîøåíèÿì, èìåþùèì âèä:
                      Z x                                      Z x
          1         1               C            1           1              C
 θ1(x) = ϕ(x) −           ψ(ξ)dξ + , θ2(x) = ϕ(x) +                ψ(ξ)dξ − .
          2        2a 0             2            2          2a 0             2
                                                                          (1.12)
Ïîäñòàâëÿÿ (1.12) â (1.3), ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé îêîí÷àòåëüíîé îðìå
ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (1.1), (1.10):
                                                x+at
              ϕ(x − at) + ϕ(x + at)    1
                                                Z
    u(x, t) =                       +                 ψ(ξ)dξ, (x, t) ∈ R2+ .   (1.13)
                        2             2a
                                               x−at

  Ôîðìóëà (1.13) òàê æå, êàê è (1.3), íàçûâàåòñÿ îðìóëîé Äàëàìáåðà.
Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî (1.13) äàåò èñêîìîå ðåøåíèå çàäà÷è (1.1), (1.10), åñëè
                           ϕ ∈ C 2(R), ψ ∈ C 1(R).                             (1.14)

                                      173

Страницы