Классические методы математической физики - 175 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

x
x
1
= x
0
− at
0
x
2
= x
0
+ at
0
.
u (x
0
, t
0
)
θ
1
(x
1
) + θ
2
(x
2
) θ
1
θ
2
x
1
x
2
x
K
−
(x
0
, t
0
)
(x
0
, t
0
)
a
(x, t) ∈ R
2
+
θ
1
θ
2
(x
1
, 0) (x
2
, 0) K
−
(x, t)
(x, t)
x = x
0
t = t
0
u(x
0
, t
0
) =
ϕ(x
1
) + ϕ(x
2
)
2
+
1
2a
x
2
Z
x
1
ψ(ξ)dξ,
u(x
0
, t
0
)
x
0
t
0
ϕ x
1
= x
0
− at
0
x
2
= x
0
+ at
0
x
K
−
(x
0
, t
0
) (x
0
, t
0
)
ψ
(x
1
, x
2
) x
êîòîðûå ïåðåñåêàþò îñü x ñîîòâåòñòâåííî â òî÷êàõ
                    x1 = x0 − at0     è     x2 = x0 + at0 .         (1.16)
Èç (1.3) ñëåäóåò, ÷òî çíà÷åíèå îáùåãî ðåøåíèÿ u â òî÷êå (x0 , t0 ) ðàâíî
θ1(x1) + θ2 (x2), ò. å. îíî îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèÿìè óíêöèé θ1 è θ2 ñîîò-




                    (à)                                    (á)


                                    èñ. 1.2


âåòñòâåííî â òî÷êàõ x1 è x2 , êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè òðåóãîëüíèêà,
îáðàçîâàííîãî äâóìÿ õàðàêòåðèñòèêàìè (1.15) è îñüþ x (ñì. ðèñ. 1.2à). Ýòîò
òðåóãîëüíèê, îáîçíà÷àåìûé ÷åðåç K −(x0 , t0 ), íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷å-
ñêèì òðåóãîëüíèêîì òî÷êè (x0, t0 ), à óêàçàííûé àêò îáû÷íî èíòåðïðåòè-
ðóþò òàê: âîçìóùåíèå â ñòðóíå, âûçâàííîå åå íà÷àëüíûì îòêëîíåíèåì,
ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âäîëü õàðàêòåðèñòèê (1.7) óðàâíåíèÿ (1.1) ñ ïîñòî-
ÿííîé ñêîðîñòüþ a (áåç èçìåíåíèÿ îðìû). Ñîðìóëèðóåì ïîëó÷åííûé
ðåçóëüòàò â âèäå ëåììû.
   Ëåììà 1.2. Çíà÷åíèå ðåøåíèÿ (1.3) óðàâíåíèÿ (1.1) â ïðîèçâîëüíîé
òî÷êå (x, t) ∈ R2+ ðàâíî ñóììå çíà÷åíèé óíêöèé θ1 è θ2 â (1.3) â íèæ-
íèõ âåðøèíàõ (x1, 0) è (x2 , 0) õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî òðåóãîëüíèêà K −(x, t)
òî÷êè (x, t).
   Îáðàòèìñÿ äàëåå ê îðìóëå (1.13) è ïîëîæèì â íåé x = x0 , t = t0 .
Ïåðåïèñàâ åå ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (1.16) â âèäå
                                                    Zx2
                             ϕ(x1) + ϕ(x2)    1
                u(x0, t0 ) =               +              ψ(ξ)dξ,   (1.17)
                                   2         2a
                                                   x1

ïðèõîäèì ê âàæíîìó âûâîäó, ÷òî çíà÷åíèå u(x0, t0 ) ðåøåíèÿ è çàäà÷è Êî-
øè (1.1), (1.10), îïèñûâàþùåå îòêëîíåíèå ñòðóíû â òî÷êå x0 â ìîìåíò
t0 , çàâèñèò òîëüêî îò çíà÷åíèé íà÷àëüíîé óíêöèè (íà÷àëüíîãî îòêëî-
íåíèÿ) ϕ â òî÷êàõ x1 = x0 − at0 è x2 = x0 + at0 îñè x  âåðøèíàõ õà-
ðàêòåðèñòè÷åñêîãî òðåóãîëüíèêà K −(x0 , t0 ) òî÷êè (x0, t0 ), è îò çíà÷å-
íèé íà÷àëüíîé óíêöèè (íà÷àëüíîé ñêîðîñòè îòêëîíåíèÿ ñòðóíû) ψ íà
ó÷àñòêå (x1 , x2 ) îñè x.

                                      175

Страницы