Классические методы математической физики - 177 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u(x, t) 6≡ 0 t
1
< t < t
2
=
α − x
a
u(x, t) ≡ 0 t
2
≤ t < ∞ .
t
1
t
2
x
x (−α, α)
x u(x, t) ≡ 0
(x, t)
(−α, 0) (α, 0)
R
2
+
= (−∞ < x < ∞, t ≥ 0) Q
1
Q
2
Q
3
Q
4
Q
5
Q
6
u(x, t)
(x, t) Q
1
Q
3
Q
5
(x, t)
(−α, α) ϕ
Q
2
u = (1/2)ϕ(x − at) Q
4
u = (1/2)ϕ(x + at)
Q
6
a = 1 ϕ
ϕ(x) =
x + 1, x ∈ (−1, 0),
1 − x, x ∈ (0, 1),
0, x 6∈ (−1, 1).
t = 0
x = 0 x = −1 x = 1
t
0
= 0
t
1
= 0.5 t
2
= 1 t
3
= 1.5 t
4
= 2
t
i
i = 0, 1, 2, 3, 4
ϕ
t
i
a = 1
ϕ ∈ C
2
(R)
ϕ ψ
(−α, α)
                                α−x
u(x, t) 6≡ 0 ïðè t1 < t < t2 =          è u(x, t) ≡ 0 ïðè t2 ≤ t < ∞.
                                  a
Ïðè ýòîì çíà÷åíèÿ t1 è t2 ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ìîìåíòû ïðîõîæäåíèÿ ñî-
îòâåòñòâåííî ïåðåäíåãî è çàäíåãî ðîíòà îáðàòíîé âîëíû ÷åðåç òî÷êó x.
   Íàêîíåö, ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó x âíóòðè èíòåðâàëà (−α, α) ñíà÷àëà ïðî-
õîäÿò îáå âîëíû (ïðÿìàÿ è îáðàòíàÿ), çàòåì îäíà âîëíà (ïðÿìàÿ èëè îá-
ðàòíàÿ), à çàòåì íè îäíîé âîëíû. Íà÷èíàÿ ñ ýòîãî ìîìåíòà â óêàçàííîé
òî÷êå x ñòðóíû íàáëþäàåòñÿ ïîêîé, ò. å. u(x, t) ≡ 0. Íàãëÿäíîå ïðåä-
ñòàâëåíèå î õàðàêòåðå ïðîöåññà ðàñïðîñòðàíåíèÿ â äàííîì ÷àñòíîì ñëó-
÷àå ìîæíî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ àçîâîé ïëîñêîñòè (x, t). Ïðîâåäåì õà-
ðàêòåðèñòèêè ÷åðåç òî÷êè (−α, 0) è (α, 0). Îíè ðàçáèâàþò ïîëóïëîñêîñòü
R2+ = (−∞ < x < ∞, t ≥ 0) íà øåñòü îáëàñòåé: Q1 , Q2 , Q3 , Q4, Q5,
Q6 (ñì. ðèñ.1.2á). Àíàëèç îðìóëû (1.19) äëÿ îòêëîíåíèÿ u(x, t) ñòðóíû â
ëþáîé òî÷êå (x, t) ïîêàçûâàåò, ÷òî â îáëàñòÿõ Q1 , Q3 , Q5 îòêëîíåíèå ðàâ-
íî íóëþ. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó íèæíèå âåðøèíû õàðàêòåðèñòè÷åñêî-
ãî òðåóãîëüíèêà ëþáîé òî÷êè (x, t) èç ýòèõ îáëàñòåé ëåæàò âíå èíòåðâàëà
(−α, α), íà êîòîðîì íà÷àëüíàÿ óíêöèÿ ϕ îòëè÷íà îò íóëÿ, òî óêàçàííûé
àêò ñëåäóåò èç ëåììû 1.2. Â îáëàñòè Q2 ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ âîëíà
u = (1/2)ϕ(x − at), â îáëàñòè Q4  îáðàòíàÿ âîëíà u = (1/2)ϕ(x + at), à â
îáëàñòè Q6 ðåøåíèå åñòü ñóììà ïðÿìîé è îáðàòíîé âîëí. åîìåòðè÷åñêàÿ
èíòåðïðåòàöèÿ ðåøåíèÿ (1.19) ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 1.3a â ñëó÷àå, êîãäà
a = 1, à íà÷àëüíàÿ óíêöèÿ ϕ èìååò âèä ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà,
îïðåäåëÿåìîãî îðìóëîé
                             
                              x + 1, x ∈ (−1, 0),
                      ϕ(x) =    1 − x, x ∈ (0, 1),                  (1.20)
                              0,      x 6∈ (−1, 1).
Òàêîé íà÷àëüíûé ïðîèëü ìîæíî ïîëó÷èòü, åñëè ïðè t = 0 îòòÿíóòü ñòðó-
íó â òî÷êå x = 0 è çàæàòü â òî÷êàõ x = −1 è x = 1. Íà ðèñ. 1.3a äàíû
ïðîèëè ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïîëîæåíèé ñòðóíû â ìîìåíòû âðåìåíè t0 = 0,
t1 = 0.5, t2 = 1, t3 = 1.5, t4 = 2. Âèäíî, ÷òî â êàæäûé èêñèðîâàííûé
ìîìåíò ti , i = 0, 1, 2, 3, 4 ïðîèëü ñòðóíû ðàâåí ñóììå äâóõ ïðîèëåé:
ïðàâîãî è ëåâîãî, ãäå ïðàâûé (ëèáî ëåâûé) ïðîèëü ïîëó÷àåòñÿ ñäâè-
ãîì ïîëîâèíêè íà÷àëüíîãî ïðîèëÿ (ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà) ϕ â
(1.20) âïðàâî (ëèáî âëåâî) íà ðàññòîÿíèå, ðàâíîå ïî âåëè÷èíå ti (òàê êàê
a = 1).
   Îòìåòèì, ÷òî â ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå íà÷àëüíàÿ óíêöèÿ â (1.20), áó-
äó÷è êóñî÷íî-àíàëèòè÷íîé, íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ϕ ∈ C 2 (R). Îäíàêî
ýòîò ïðèìåð ïîëåçåí òåì, ÷òî ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü íàãëÿäíîå ïðåäñòàâëåíèå
î èçèêå ïðîòåêàíèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî âîëíîâîãî ïðîöåññà.
   2) Íà÷àëüíîå ñìåùåíèå ϕ ðàâíî íóëþ, à óíêöèÿ ψ îòëè÷íà îò íóëÿ
ëèøü â êîíå÷íîì èíòåðâàëå (−α, α).  òàêîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ñòðó-

                                   177

Страницы