Классические методы математической физики - 179 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

at
x > α
(0, ∞)
1) 0 ≤ t ≤ t
1
=
x − α
a
; 2) t
1
< t < t
2
=
x + α
a
; 3) t
2
≤ t < ∞.
0 ≤ t ≤ t
1
t = 0 (x −at, x + at)
x t
a t ≤ t
1
(−α, α) ψ
ψ = 0 (x − at, x + at) ∀t ≤ t
1
=⇒ u(x, t) ≡ 0 ∀t ≤ t
1
.
{(−α, α), ψ} x
u(x, t) ≡ 0 t
1
ψ(α) 6= 0
t
1
< t < t
2
t t
1
t
2
(x −at, x + at) (−α, α)
ψ 6≡ 0 u(x, t) 6≡ 0 t
1
< t < t
2
t > t
1
x
x t
1
x
t
2
≤ t < ∞ t (x−at, x+
at) (−α, α) ψ = 0
(−α, α) t
u(x, t) =
1
2a
α
Z
−α
ψ(ξ)dξ = const, ∀t ≥ t
2
.
t
2
x
x
a = 1 ψ
ψ(x) =
1, x ∈ (−1, 1),
0, x 6∈ (−1, 1).
íà ðàññòîÿíèå at, çàòåì âïðàâî íà òî æå ðàññòîÿíèå è âû÷åñòü ïîëó÷åííûå
ïðîèëè.
   Êàê è âûøå, ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå ñëó÷àé, êîãäà x > α. Îïÿòü ðàçîáüåì
âðåìåííîé èíòåðâàë (0, ∞) íà òðè ïîäèíòåðâàëà:
                         x−α                    x+α
      1) 0 ≤ t ≤ t1 =        ; 2) t1 < t < t2 =     ; 3) t2 ≤ t < ∞.
                          a                      a
   1. 0 ≤ t ≤ t1 . Ïðè t = 0 èíòåðâàë èíòåãðèðîâàíèÿ (x − at, x + at) â (1.21)
âûðîæäàåòñÿ â òî÷êó x, à çàòåì ñ óâåëè÷åíèåì t îí ðàñøèðÿåòñÿ â îáå
ñòîðîíû ñî ñêîðîñòüþ a. Ïðè t ≤ t1 îí íå èìååò îáùèõ òî÷åê ñ èíòåðâàëîì
(−α, α), ãäå ψ îòëè÷íà îò íóëÿ. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
       ψ=0      â     (x − at, x + at) ∀t ≤ t1 =⇒ u(x, t) ≡ 0 ∀t ≤ t1.
Ýòè àêòû èçè÷åñêè îçíà÷àþò, ÷òî âîëíà, âûçâàííàÿ íà÷àëüíûì âîç-
ìóùåíèåì  ïàðîé {(−α, α), ψ}, åùå íå äîøëà äî òî÷êè x. Îòìåòèì, ÷òî
ïîñëåäíåå óñëîâèå u(x, t) ≡ 0 âûïîëíÿåòñÿ è â ìîìåíò âðåìåíè t1 , äàæå
åñëè ψ(α) 6= 0.
   2. t1 < t < t2 . Äëÿ ýòèõ çíà÷åíèé âðåìåíè t, ò. å., íà÷èíàÿ ñ ìîìåíòà t1 è
äî ìîìåíòà t2 , èíòåðâàë (x − at, x + at) áóäåò ïåðåñåêàòü èíòåðâàë (−α, α),
ãäå ψ 6≡ 0. Ñ ó÷åòîì ýòîãî èç (1.21) ñëåäóåò, ÷òî u(x, t) 6≡ 0 ïðè t1 < t < t2 .
Ôèçè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè t > t1 â òî÷êó x ïðèõîäèò âîçìóùåíèå, âû-
çâàííîå íåíóëåâûì íà÷àëüíûì èìïóëüñîì ñòðóíû, ïîä âëèÿíèåì êîòîðîãî
òî÷êà x íà÷èíàåò êîëåáàòüñÿ. Ñàì æå ìîìåíò t1 åñòü ìîìåíò ïðîõîæäåíèÿ
÷åðåç òî÷êó x ïåðåäíåãî ðîíòà âîëíû, âûçâàííîé íà÷àëüíûì èìïóëüñîì.
   3. t2 ≤ t < ∞. Äëÿ ýòèõ çíà÷åíèé t èíòåðâàë èíòåãðèðîâàíèÿ (x − at, x +
at) â (1.21) áóäåò öåëèêîì ñîäåðæàòü èíòåðâàë (−α, α). Òàê êàê ψ = 0 âíå
(−α, α), òî äëÿ òàêèõ t îðìóëà (1.21) ïðèíèìàåò âèä
                                     Zα
                                 1
                    u(x, t) =             ψ(ξ)dξ = const, ∀t ≥ t2 .      (1.24)
                                2a
                                     −α

   Òàêèì îáðàçîì, íà÷èíàÿ ñ ìîìåíòà t2 , èìåþùåãî ñìûñë ìîìåíòà ïðî-
õîæäåíèÿ ÷åðåç òî÷êó x çàäíåãî ðîíòà âîëíû, âûçâàííîé íà÷àëüíûì èì-
ïóëüñîì ñòðóíû, òî÷êà x ïåðåñòàåò êîëåáàòüñÿ è çàíèìàåò ïîëîæåíèå, îïðå-
äåëÿåìîå îðìóëîé (1.24). Ôèçè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âîëíà îñòàâëÿåò â
ñòðóíå ñëåä ïîñëå ñâîåãî ïðîõîæäåíèÿ.
    åîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ðåøåíèÿ (1.21) ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 1.3á
â ñëó÷àå, êîãäà a = 1, à íà÷àëüíàÿ óíêöèÿ ψ îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé
                                
                                  1, x ∈ (−1, 1),
                         ψ(x) =                                   (1.25)
                                  0, x 6∈ (−1, 1).

                                             179

Страницы