Классические методы математической физики - 180 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Ψ
Ψ(x) =
−1/2, x ∈ (−∞, −1),
1/2x, x ∈ [−1, 1],
1/2, x ∈ (1, +∞).
Ψ(x + t)
Ψ(x + t) Ψ(x − t)
t
0
t
1
t
2
t
3
t
4
t > t
2
ψ
-
x
1
0.5
-0.5
-1
ψ
t
-
x
1
0.5
-0.5
-1
ψ
t x
ψ
Q
T
= R ×(0, T ] 0 < T < ∞
u
1
u
2
C
2
(R
2
+
) ∩ C
1
(R
2
+
)
u
1
|
t=0
= ϕ
1
(x),
∂u
1
∂t
t=0
= ψ
1
(x)
u
2
|
t=0
= ϕ
2
(x),
∂u
2
∂t
t=0
= ψ
2
(x), x ∈ R.
Äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ óíêöèÿ Ψ â (1.22)             îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé
                          
                           −1/2,               x ∈ (−∞, −1),
                   Ψ(x) =   1/2x,               x ∈ [−1, 1],                         (1.26)
                           1/2,                x ∈ (1, +∞).
Óêàçàííûé ïðîèëü âìåñòå ñî ñäâèíóòûì ïðîèëåì Ψ(x + t) èçîáðàæåí
íà ðèñ. 1.4, òîãäà êàê íà ðèñ. 1.3á èçîáðàæåíû â âèäå ïðåðûâèñòûõ ëèíèé
ïðîèëè óíêöèé Ψ(x + t) è Ψ(x − t) ñîîòâåòñòâåííî, à â âèäå ñïëîøíîé
ëèíèè ïðîèëè îòêëîíåíèÿ ñòðóíû â òå æå ìîìåíòû âðåìåíè t0 , t1 , t2 , t3
è t4 , ÷òî è íà ðèñ. 1.3à. Âèäíî, ÷òî, íà÷èíàÿ ñ ìîìåíòà t > t2 , ïðîèëü
îòêëîíåíèÿ ñòðóíû èìååò îðìó ðàâíîáåäðåííîé òðàïåöèè åäèíè÷íîé âû-
ñîòû, êîòîðàÿ ðàâíîìåðíî ðàñøèðÿåòñÿ â îáå ñòîðîíû ñ ðîñòîì âðåìåíè.

                     ψ                                              ψ
                     0.5                                            0.5


            -1                   1        x              -1    t             1        x
                      --0.5                                          --0.5

                                          èñ. 1.4
   Òàêèì îáðàçîì, äåéñòâèå íåíóëåâîãî íà÷àëüíîãî èìïóëüñà ψ , îïðåäåëÿ-
åìîãî îðìóëîé (1.25), ïðèâîäèò ê ñäâèãó êàæäîé òî÷êè ñòðóíû â îïðåäå-
ëåííûé ìîìåíò t, çàâèñÿùèé îò x, íà åäèíè÷íîå ðàññòîÿíèå ââåðõ. Îïÿòü
îòìåòèì, ÷òî õîòÿ â äàííîì ïðèìåðå óíêöèÿ ψ äàæå íå ÿâëÿåòñÿ íåïðå-
ðûâíîé, ïðèâåäåííûé âûøå àíàëèç ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü äîñòàòî÷íî õîðî-
øåå ïðåäñòàâëåíèå î èçèêå ïðîòåêàíèÿ ïðîöåññà â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó-
÷àå. Èç ýòîãî ïðèìåðà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî ïðèíöèï þéãåíñà (ñì.
áîëåå ïîäðîáíî î íåì ⠟ 3) íå âûïîëíÿåòñÿ â îäíîìåðíîì ñëó÷àå.
  1.3. Óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè ê èñõîäíûì äàííûì.
Îáîáùåííîå ðåøåíèå.           Êàê óêàçûâàëîñü â ãë. 2, îäíèì èç âàæíåéøèõ
òðåáîâàíèé ïðè ïîñòàíîâêå è èññëåäîâàíèè çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè
ÿâëÿåòñÿ òðåáîâàíèå óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèÿ ê ìàëûì âîçìóùåíèÿì èñõîä-
íûõ äàííûõ. Äîêàæåì, ÷òî äëÿ çàäà÷è Êîøè óêàçàííîå ñâîéñòâî èìååò
ìåñòî. Ïóñòü QT = R × (0, T ], ãäå 0 < T < ∞.
   Òåîðåìà 1.2. (Î íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè îò
íà÷àëüíûõ äàííûõ). Ïóñòü u1 è u2  ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (1.1), (1.10)
èç êëàññà C 2 (R2+) ∩ C 1 (R2+) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè
                   ∂u1                                        ∂u2
 u1|t=0 = ϕ1(x),                 = ψ1 (x) è u2|t=0 = ϕ2(x),               = ψ2 (x), x ∈ R.
                    ∂t     t=0                                 ∂t   t=0

                                              180

Страницы