Классические методы математической физики - 182 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

{u
n
}
Q
T
u
n
Q
T
Q
T
u
u(x, t) = lim
n→∞
u
n
(x, t) = lim
n→∞
ϕ
n
(x − at) + ϕ
n
(x + at)
2
+
1
2a
x+at
Z
x−at
ψ
n
(ξ)dξ
.
n → ∞
u
ϕ ψ
u
u
ϕ ψ
u
u
(x, t) ∈ R
2
+
ϕ ψ
u
ϕ ψ
u ∈ C
2
(R
2
+
) ∩
C
1
(
R
2
+
)
∂
2
u
∂t
2
= a
2
∂
2
u
∂x
2
+ f
R
2
+
≡ R
x
× R
t,+
u|
t=0
= 0 ,
∂u
∂t
t=0
= 0
R.
Îíî îçíà÷àåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {un } óíäàìåíòàëüíà â ïðîñòðàí-
ñòâå îãðàíè÷åííûõ è íåïðåðûâíûõ íà çàìêíóòîì ìíîæåñòâå QT óíêöèé.
Ïîñêîëüêó óêàçàííîå ïðîñòðàíñòâî ïîëíî [32℄, òî un ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ
â QT ê íåêîòîðîé íåïðåðûâíîé â QT óíêöèè u, òàê ÷òî
                                                            x+at
                                                                         
                               ϕ (x − at) + ϕ (x + at)    1
                                                             Z           
                                 n            n
u(x, t) = lim un (x, t) = lim                           +        ψn (ξ)dξ .
          n→∞             n→∞             2              2a             
                                                           x−at
   Ïåðåõîäÿ â ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ ê ïðåäåëó ïðè n → ∞,
ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî ââåäåííàÿ óíêöèÿ u îïðåäåëÿåòñÿ ïî çàäàííûì
óíêöèÿì ϕ è ψ ñ ïîìîùüþ îðìóëû Äàëàìáåðà (1.13). Èç íåå, â ÷àñòíî-
ñòè, âûòåêàåò, ÷òî óíêöèÿ u óäîâëåòâîðÿåò îáîèì íà÷àëüíûì óñëîâèÿì â
(1.10). Îäíàêî òàê ïîñòðîåííàÿ óíêöèÿ u óæå íå óäîâëåòâîðÿåò, âîîáùå
ãîâîðÿ, óðàâíåíèþ (1.1). Ïîñëåäíåå âûòåêàåò õîòÿ áû èç òîãî, ÷òî â ñëó÷àå,
êîãäà óíêöèè ϕ è ψ óäîâëåòâîðÿþò ëèøü óñëîâèÿì (1.14à), ïðîèçâîäíûõ
âòîðîãî ïîðÿäêà îò ðåøåíèÿ u, îïðåäåëÿåìîãî îðìóëîé (1.13), â îáùåì
ñëó÷àå íå ñóùåñòâóåò. Ïîýòîìó áåññìûñëåííî òðåáîâàòü îò ðåøåíèÿ u ÷òî-
áû îíî óäîâëåòâîðÿëî óðàâíåíèþ (1.1) â êàæäîé òî÷êå (x, t) ∈ R2+ . Òåì íå
ìåíåå ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè ëèøü óñëîâèé (1.14à) è äàæå
áîëåå ñëàáûõ óñëîâèé íà ãëàäêîñòü ϕ è ψ óíêöèÿ (1.13) óäîâëåòâîðÿ-
åò óðàâíåíèþ (1.1) â íåêîòîðîì èíòåãðàëüíîì (òàê ñêàçàòü, îáîáùåííîì)
ñìûñëå. Ñ ó÷åòîì ýòîãî óíêöèþ u, îïðåäåëÿåìóþ îðìóëîé Äàëàìáåðà
(1.13) ïî óíêöèÿì ϕ è ψ , óäîâëåòâîðÿþùèì óñëîâèÿì (1.14à), ìîæíî íà-
çâàòü îáîáùåííûì ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè (1.1), (1.10). Íå èìåÿ âîçìîæíî-
ñòè îñòàíàâëèâàòüñÿ áîëåå ïîäðîáíî íà àíàëèçå ñâîéñòâ îáîáùåííûõ ðåøå-
íèé, ïîðåêîìåíäóåì ÷èòàòåëÿì êíèãè [28, 32, 34℄, ãäå äåòàëüíî îñâåùàþòñÿ
ñâîéñòâà îáîáùåííûõ ðåøåíèé, à òàêæå êíèãó [11℄. Â ïîñëåäíåé èçëàãàåòñÿ
äðóãîé ïîäõîä ê ââåäåíèþ îáîáùåííûõ ðåøåíèé äëÿ óðàâíåíèé â ÷àñò-
íûõ ïðîèçâîäíûõ, îñíîâàííûé íà óíäàìåíòàëüíîì ïîíÿòèè îáîáùåííîé
óíêöèè.
   1.4. Çàäà÷à Êîøè äëÿ íåîäíîðîäíîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ. àñ-
ñìîòðèì â ýòîì ïóíêòå çàäà÷ó Êîøè äëÿ íåîäíîðîäíîãî îäíîìåðíîãî âîë-
íîâîãî óðàâíåíèÿ. Îíà çàêëþ÷àåòñÿ â íàõîæäåíèè óíêöèè u ∈ C 2 (R2+ ) ∩
C 1(R2+ ), óäîâëåòâîðÿþùåé óðàâíåíèþ
                 ∂ 2u       2
                          2∂ u
                    2
                      =a      2
                                + f â R2+ ≡ Rx × Rt,+           (1.27)
                 ∂t        ∂x
è íà÷àëüíûì óñëîâèÿì (1.10). Ïðåæäå âñåãî îòìåòèì, ÷òî äëÿ íàõîæäå-
íèÿ ðåøåíèÿ îáùåé íåîäíîðîäíîé çàäà÷è (1.27), (1.10) äîñòàòî÷íî íàéòè
ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.27) ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ
                                   ∂u
                      u|t=0 = 0,          = 0 â R.              (1.28)
                                   ∂t t=0
                                    182

Страницы