Классические методы математической физики - 184 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

x t
∂
2
u(x, t)
∂x
2
=
t
Z
0
∂
2
v(x, t, τ)
∂x
2
dτ,
∂u(x, t)
∂t
=
t
Z
0
∂v(x, t, τ)
∂t
dτ + v(x, t, t) =
t
Z
0
∂v(x, t, τ)
∂t
dτ,
∂
2
u(x, t)
∂t
2
=
t
Z
0
∂
2
v(x, t, τ)
∂t
2
dτ + f(x, t).
a
2
v
u
u
u
f ∂f/∂x ∈ C
0
(R
2
+
)
u
C
2
(R
2
+
) ∩C
1
(R
2
+
)
f
K
−
(x, t) (x, t)
(x, t) ∈ R
2
+
f(ξ, τ) f ξ, τ
K
−
(x, t) K
−
(x, t)
u
(x, t) f
u(x, t) =
ϕ(x − at) + ϕ(x + at)
2
+
1
2a
x+at
Z
x−at
ψ(ξ)dξ +
1
2a
t
Z
0
x+a(t−τ)
Z
x−a(t−τ)
f(ξ, τ)dξdτ.
ÿâëÿåòñÿ èñêîìûì ðåøåíèåì çàäà÷è (1.27), (1.28).  ñàìîì äåëå, äèå-
ðåíöèðóÿ (1.34) äâàæäû ïî x è t, èìååì ñ ó÷åòîì óñëîâèé (1.30), ÷òî
                                              Zt
                             ∂ 2u(x, t)            ∂ 2v(x, t, τ )
                                        =                         dτ,                        (1.35)
                                ∂x2                    ∂x2
                                              0

                    Zt                                        Zt
       ∂u(x, t)           ∂v(x, t, τ )                             ∂v(x, t, τ )
                =                      dτ + v(x, t, t) =                        dτ,          (1.36)
         ∂t                  ∂t                                       ∂t
                    0                                         0
                                       Zt
                        ∂ 2u(x, t)          ∂ 2v(x, t, τ )
                                   =                       dτ + f (x, t).                    (1.37)
                           ∂t2                  ∂t2
                                       0

Óìíîæèì (1.35) íà a2 è âû÷òåì èç (1.37). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî v óäîâëåòâî-
ðÿåò îäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ (1.29), ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî óêàçàííàÿ
óíêöèÿ u è ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (1.27). Èç (1.34)
è (1.36) ñëåäóåò, ÷òî u óäîâëåòâîðÿåò îäíîðîäíûì íà÷àëüíûì óñëîâèÿì
(1.28). Åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ u âûòåêàåò èç åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ
çàäà÷è (1.1), (1.10). Ñîðìóëèðóåì ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò â âèäå òåîðåìû.
   Òåîðåìà 1.3. Ïóñòü f , ∂f /∂x ∈ C (R+ ). Òîãäà óíêöèÿ u, îïðåäåëÿ-
                                        0  2

åìàÿ îðìóëîé (1.34), ïðèíàäëåæèò êëàññó C 2 (R2+ ) ∩ C 1(R2+ ) è ÿâëÿåòñÿ
åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè (1.27), (1.28).
   Çàìå÷àíèå 1.4. Îòìåòèì, ÷òî èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè (1.34) ïðåä-
ñòàâëÿåò ñîáîé ïîâòîðíûé èíòåãðàë îò óíêöèè f ïî õàðàêòåðèñòè÷åñêî-
ìó òðåóãîëüíèêó K −(x, t) ñ öåíòðîì â òî÷êå (x, t). Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå
çàäà÷è Êîøè (1.27), (1.28) â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå (x, t) ∈ R2+ çàâèñèò ëèøü
îò çíà÷åíèé f (ξ, τ ) ïðàâîé ÷àñòè f â òî÷êàõ (ξ, τ ), èçìåíÿþùèõñÿ âíóò-
ðè K −(x, t). Äðóãèìè ñëîâàìè, õàðàêòåðèñòè÷åñêèé òðåóãîëüíèê K −(x, t)
èìååò ñìûñë îáëàñòè çàâèñèìîñòè äëÿ ðåøåíèÿ u óðàâíåíèÿ (1.27) â òî÷-
êå (x, t) îò ïðàâîé ÷àñòè f . Íèæå ⠟Ÿ 4 è 5 ìû åùå âåðíåìñÿ ê îðìóëå
(1.34) ïðè îáñóæäåíèè âîïðîñîâ îá îáëàñòÿõ çàâèñèìîñòè è âëèÿíèÿ äëÿ
ãèïåðáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé.
   Çàìå÷àíèå 1.5. åøåíèå îáùåé íåîäíîðîäíîé çàäà÷è (1.27), (1.10),
î÷åâèäíî, îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé
                                                   x+at                 Zt   x+a(t−τ
                                                                               Z )
          ϕ(x − at) + ϕ(x + at)    1                               1
                                                   Z
u(x, t) =                       +                        ψ(ξ)dξ +                     f (ξ, τ )dξdτ.
                    2             2a                              2a
                                                  x−at                  0 x−a(t−τ )
                                                                                             (1.38)


                                               184

Страницы