Классические методы математической физики - 186 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

ϕ
x
0
= 0 ϕ(x) = ϕ(−x), ψ(x) =
ψ(−x) ∀x ∈ R
ϕ
′
(x) = −ϕ
′
(−x) ∀x ∈ R
x
∂u(0, t)
∂x
=
ϕ
′
(−at) + ϕ
′
(at)
2
+
1
2a
[ψ(at) − ψ(−at)] = 0 ∀t > 0.
u
u
∂u/∂x
x − at
Q
2
ϕ ψ
ϕ ψ
(x < 0) Φ
Ψ : R → R
Φ(x) =
ϕ(x) x > 0,
−ϕ(−x) x < 0,
Ψ(x) =
ψ(x) x > 0,
−ψ(−x) x < 0.
Φ ∈ C
2
(R) Ψ ∈ C
1
(R)
ϕ ∈ C
2
[0, ∞), ϕ(0) = ϕ
′′
(0) = 0; ψ ∈ C
1
[0, ∞), ψ(0) = 0.
Äåéñòâèòåëüíî, ïåðâîå ñëàãàåìîå â (1.44) ðàâíî íóëþ â ñèëó íå÷åòíîñòè
ϕ, òîãäà êàê âòîðîå ðàâíî íóëþ â ñèëó ñâîéñòâà ðàâåíñòâà íóëþ èíòåãðà-
ëà îò íå÷åòíîé óíêöèè â ïðåäåëàõ, ñèììåòðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî íà÷àëà
êîîðäèíàò.
   Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ ëåììà 1.4. Óñëîâèÿ ÷åòíîñòè íà÷àëüíûõ äàí-
íûõ îòíîñèòåëüíî òî÷êè x0 = 0 èìåþò âèä ϕ(x) = ϕ(−x), ψ(x) =
ψ(−x) ∀x ∈ R. Èçâåñòíî, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ ÷åòíîé óíêöèè ÿâëÿåòñÿ
íå÷åòíîé óíêöèåé, òàê ÷òî ϕ′(x) = −ϕ′(−x) ∀x ∈ R. Äèåðåíöèðóÿ
(1.13) ïî x è ðàññóæäàÿ, êàê ïðè âûâîäå (1.44), èìååì, ÷òî
      ∂u(0, t) ϕ′ (−at) + ϕ′(at)   1
              =                  + [ψ(at) − ψ(−at)] = 0 ∀t > 0.
        ∂x             2          2a
  Çàìå÷àíèå 1.6.     Ïðèâåäåííîå âûøå äî-
êàçàòåëüñòâî àêòè÷åñêè îïèðàåòñÿ íà îð-
ìóëó Äàëàìáåðà è íå ñâÿçàíî ñ äâóêðàò-
íîé äèåðåíöèðóåìîñòüþ óíêöèè u. Ýòî
îçíà÷àåò, ÷òî ëåììà 1.3 âåðíà äëÿ ëþáîé
íåïðåðûâíîé óíêöèè u, ïðåäñòàâèìîé îð-
ìóëîé Äàëàìáåðà (1.13), à ëåììà 1.4 âåð-
íà äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîé óíêöèè òî-
ãî æå âèäà, èìåþùåé íåïðåðûâíóþ ïðî-
èçâîäíóþ ∂u/∂x. Òàêèì îáðàçîì, ëåììû
                                                      èñ. 1.5
1.3 è 1.4 àêòè÷åñêè âåðíû äëÿ îáîáùåí-
íûõ ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè (1.1), (1.10).
   Èñïîëüçóÿ ëåììó 1.3, òåïåðü íåñëîæíî íàéòè ðåøåíèå çàäà÷è (1.39),
(1.40), (1.42). Îòìåòèì ïðåæäå, ÷òî äëÿ ðåøåíèÿ óêàçàííîé çàäà÷è íåëü-
çÿ íåïîñðåäñòâåííî âîñïîëüçîâàòüñÿ îðìóëîé (1.13). Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì,
÷òî âõîäÿùàÿ â ýòó îðìóëó ðàçíîñòü x − at ìîæåò áûòü è îòðèöàòåëü-
íîé (ñì. îáëàñòü Q2 íà ðèñ. 1.5), à äëÿ îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé àðãóìåíòà
íà÷àëüíûå óíêöèè ϕ è ψ â (1.40) íå îïðåäåëåíû. Ñ ó÷åòîì ýòîãî áóäåì
äåéñòâîâàòü ïî ñëåäóþùåé ñõåìå. Ïðîäîëæèì óíêöèè ϕ è ψ â (1.40) íå÷åò-
íûì îáðàçîì íà îòðèöàòåëüíóþ ïîëóîñü (x < 0) è îáîçíà÷èì ÷åðåç Φ è
Ψ : R → R èõ ïðîäîëæåíèÿ:
                ϕ(x) äëÿ x > 0,                ψ(x) äëÿ x > 0,
                                          
   Φ(x) =                           Ψ(x) =                         (1.45)
               −ϕ(−x) äëÿ x < 0,             −ψ(−x) äëÿ x < 0.

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òàê ïîñòðîåííûå óíêöèè óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì (1.14),
ò. å. Φ ∈ C 2 (R), Ψ ∈ C 1 (R). Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ýòè óñëîâèÿ âûïîë-
íÿþòñÿ, åñëè âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ãëàäêîñòè è ñîãëàñîâàíèÿ
äàííûõ:
      ϕ ∈ C 2[0, ∞), ϕ(0) = ϕ′′ (0) = 0; ψ ∈ C 1[0, ∞), ψ(0) = 0.   (1.46)

                                    186

Страницы