Классические методы математической физики - 187 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

U (Φ, Ψ)
U(x, t) =
Φ(x − at) + Φ(x + at)
2
+
1
2a
x+at
Z
x−at
Ψ(ξ)dξ.
u U Q
u
u
u ϕ ψ
u
u(x, t) =
ϕ(x−at)+ϕ(x+at)
2
+
1
2a
x+at
R
x−at
ψ(ξ)dξ, (x, t) ∈ Q
1
= {(x, t) ∈ Q : at < x},
ϕ(x+at)−ϕ(at−x)
2
+
1
2a
x+at
R
at−x
ψ(ξ)dξ, (x, t) ∈ Q
2
= {(x, t) ∈ Q : at > x}.
u
C
2
(Q)
x = 0
∂u
∂x
x=0
= 0,
ϕ ψ
u
u(x, t) =
ϕ(x−at)+ϕ(x+at)
2
+
1
2a
x+at
R
x−at
ψ(ξ)dξ, (x, t) ∈ Q
1
,
ϕ(x+at)+ϕ(at−x)
2
+
1
2a
x+at
R
0
ψ(ξ)dξ +
at−x
R
0
ψ(ξ)dξ
, (x, t) ∈ Q
2
.
Q
1
x = at u
Òîãäà ðåøåíèå U çàäà÷è Êîøè (1.1), (1.10), îòâå÷àþùåå ïàðå (Φ, Ψ), ìîæíî
ïðåäñòàâèòü â âèäå îðìóëû Äàëàìáåðà
                                                              x+at
                          Φ(x − at) + Φ(x + at)    1
                                                              Z
             U (x, t) =                         +                   Ψ(ξ)dξ.   (1.47)
                                    2             2a
                                                             x−at

àññìîòðèì ñóæåíèå u óíêöèè U â (1.47) íà îáëàñòü Q. Ïî ïîñòðîåíèþ
óíêöèÿ u óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (1.1) è íà÷àëüíûì óñëîâèÿì (1.40).
Êðîìå òîãî, â ñèëó ëåììû 1.3 äëÿ íåå âûïîëíÿåòñÿ êðàåâîå óñëîâèå (1.42).
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî òàê ïîñòðîåííàÿ óíêöèÿ u ÿâëÿåòñÿ èñêîìûì ðåøåíèåì
çàäà÷è (1.39), (1.40), (1.42), è íàì îñòàåòñÿ ëèøü çàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿ
u ÷åðåç èñõîäíûå íà÷àëüíûå óíêöèè ϕ è ψ . Ïðîñòîé àíàëèç ñ ó÷åòîì
ñîîòíîøåíèé (1.45) ïîêàçûâàåò, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ îðìóëà äëÿ u èìååò
âèä
                                  x+at
          
            ϕ(x−at)+ϕ(x+at)     1
                                   R
          
          
          
                  2        +  2a      ψ(ξ)dξ, (x, t) ∈ Q1 = {(x, t) ∈ Q : at < x},
                                 x−at
u(x, t) =
                                 x+at
            ϕ(x+at)−ϕ(at−x)
          
                                1
                                   R
                            +          ψ(ξ)dξ, (x, t) ∈ Q2 = {(x, t) ∈ Q : at > x}.
          
          
                  2           2a
                                 at−x
                                                                (1.48)
   Òåîðåìà 1.4. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (1.46). Òîãäà óíêöèÿ u,

îïðåäåëÿåìàÿ îðìóëîé (1.48), ïðèíàäëåæèò êëàññó C 2 (Q) è ÿâëÿåòñÿ
ðåãóëÿðíûì ðåøåíèåì çàäà÷è (1.39), (1.40), (1.42).
   Òî÷íî òàê æå, åñëè ïðè x = 0 ìû èìååì îäíîðîäíîå óñëîâèå Íåéìàíà
                                  ∂u
                                                  = 0,                        (1.49)
                                  ∂x        x=0

îòâå÷àþùåå ñâîáîäíîìó êîíöó ñòðóíû, òî ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà-
÷è (1.39), (1.40), (1.49) ñòðîèòñÿ ïî àíàëîãè÷íîé ñõåìå ñ òåì ëèøü èçìåíå-
íèåì, ÷òî íà÷àëüíûå óíêöèè ϕ è ψ â (1.40) ïðîäîëæàþòñÿ íà îòðèöàòåëü-
íóþ ïîëóîñü ÷åòíûì îáðàçîì. Ïðîñòîé àíàëèç ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîëó÷åííîå
òàêèì ïóòåì ðåøåíèå u èìååò âèä
            
                                    x+at
              ϕ(x−at)+ϕ(x+at)    1
                                     R
            
            
                     2        + 2a      ψ(ξ)dξ, (x, t) ∈ Q1,
                                    x−at
  u(x, t) =                          x+at          at−x
                                                               
               ϕ(x+at)+ϕ(at−x)    1
                                       R             R
                               + 2a        ψ(ξ)dξ +      ψ(ξ)dξ , (x, t) ∈ Q2.
            
            
                      2
            
            
                                        0                0
                                                                   (1.50)
   Àíàëèç îðìóëû (1.48) ïîêàçûâàåò, ÷òî â îáëàñòè Q1 , ëåæàùåé íèæå
õàðàêòåðèñòèêè x = at, ðåøåíèå u çàäà÷è (1.39), (1.40), (1.42) ñîâïàäàåò

                                            187

Страницы