Классические методы математической физики - 189 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

R
3
R
3
R R
2
x, y, z x ∈ R
3
k = (k
1
, k
2
, k
3
)
ω = a|k|
a
k · x − ωt k ·x + ωt
Ψ
1
(k · x − ωt), Ψ
2
(k · x + ωt),
k ·x −ωt
d
k · x − ωt = d.
R
4
= R
3
x
×R
t
(x, y, z, t)
Ψ
1
Ψ
1
(d) |k| n·x = at+c
Äðóãèì âàæíûì ñâîéñòâîì âîëíîâûõ ïðîöåññîâ ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîñòü ñêî-
ðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí. Ïîýòîìó â ñëó÷àå, êîãäà èñòî÷íèêè èçëó÷å-
íèÿ âîëí ëîêàëèçîâàíû ïî ïðîñòðàíñòâó, ò. å. çàíèìàþò îãðàíè÷åííóþ
÷àñòü ñðåäû, â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ñóùåñòâóåò ïîâåðõíîñòü, îòäåëÿþ-
ùàÿ òî÷êè, äî êîòîðûõ âîëíà åùå íå äîøëà, îò òî÷åê, êîòîðûå âîëíà óæå
äîñòèãëà. Óêàçàííóþ ïîâåðõíîñòü íàçûâàþò âîëíîâîé ïîâåðõíîñòüþ èëè
ïåðåäíèì ðîíòîì âîëíû. Åñëè èñòî÷íèêè ëîêàëèçîâàíû è ïî âðåìåíè, òî
â îòñóòñòâèå ãðàíèö â ïðîñòðàíñòâå R3 ñóùåñòâóåò è çàäíèé ðîíò âîëíû.
Îí îòäåëÿåò ìíîæåñòâî òî÷åê, ÷åðåç êîòîðûå âîëíà óæå ïðîøëà, îò ìíîæå-
ñòâà òî÷åê, ÷åðåç êîòîðûå âîëíà åùå ïðîõîäèò. Òàêèì îáðàçîì, â ïîñëåäíåì
ñëó÷àå èìååò ìåñòî ïðîöåññ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí ñ ðåçêî âûðàæåííûìè
ïåðåäíèì è çàäíèì ðîíòàìè. Óêàçàííîå ñâîéñòâî ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí â
ïðîñòðàíñòâå R3 âïåðâûå áûëî ñîðìóëèðîâàíî â 1678 ãîäó X. þéãåíñîì
è íîñèò íàçâàíèå ïðèíöèïà þéãåíñà. Íåñêîëüêî äðóãàÿ ñèòóàöèÿ íàáëþ-
äàåòñÿ â R è R2 (ñì. îá ýòîì áîëåå ïîäðîáíî ⠟ 1 è Ÿ 3).
   2.1. Áåãóùèå âîëíû. Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ïîä âîëíîé ñëå-
äóåò ïîíèìàòü ÷àñòíîå ðåøåíèå âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ (2.1) ëèáî (2.2), çàâè-
ñÿùåå îò ïðîñòðàíñòâåííûõ ïåðåìåííûõ è âðåìåíè. Ïîñêîëüêó ñóùåñòâóåò
áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî òàêèõ ðåøåíèé, òî ìîæíî ïðèâåñòè äîñòàòî÷íîå
êîëè÷åñòâî ïðèìåðîâ ðàçëè÷íîãî òèïà âîëí. Íèæå ìû îãðàíè÷èìñÿ ðàñ-
ñìîòðåíèåì ëèøü òðåõ òèïîâ: ïëîñêèõ, ñåðè÷åñêèõ è öèëèíäðè÷åñêèõ áå-
ãóùèõ âîëí.
   Îáîçíà÷èì ÷åðåç x, y, z äåêàðòîâû êîîðäèíàòû òî÷êè x ∈ R3 , ÷åðåç
k = (k1, k2, k3)  ïðîèçâîëüíûé âåêòîð, èìåþùèé ðàçìåðíîñòü, îáðàòíóþ
åäèíèöå äëèíû. Ââåäåì òàêæå âåëè÷èíó ω = a|k|, èìåþùóþ ðàçìåðíîñòü,
îáðàòíóþ åäèíèöå âðåìåíè (íàïîìíèì, ÷òî êîíñòàíòà a â (2.2) èìååò â ñîîò-
âåòñòâèè ñ åå èçè÷åñêèì ñìûñëîì ðàçìåðíîñòü ñêîðîñòè). Áåçðàçìåðíûå
âåëè÷èíû k · x − ωt, k · x + ωt áóäåì íàçûâàòü àçàìè. Ëåãêî ïðîâåðèòü ñ
ïîìîùüþ íåïîñðåäñòâåííîé ïîäñòàíîâêè, ÷òî ëþáàÿ ãëàäêàÿ óíêöèÿ âèäà

                   Ψ1 (k · x − ωt), èëè Ψ2 (k · x + ωt),             (2.3)

çàâèñÿùàÿ îò îäíîé èç àç, ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (2.2). Êàæäîå
òàêîå ðåøåíèå íàçûâàåòñÿ áåãóùåé ïëîñêîé íåèñêàæàþùåéñÿ âîëíîé.
   ×òîáû âûÿñíèòü ñìûñë ýòîãî íàçâàíèÿ, ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî òî÷åê,
íà êîòîðîì îäíà èç àç, ñêàæåì k · x − ωt, ïðèíèìàåò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå
d:
                            k · x − ωt = d.                         (2.4)
Óðàâíåíèå (2.4) îïèñûâàåò ïëîñêîñòü â ÷åòûðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè
R4 = R3x ×Rt , ñîñòîÿùåì èç òî÷åê ñ êîîðäèíàòàìè (x, y, z, t).  êàæäîé òî÷-
êå ýòîé ïëîñêîñòè ðåøåíèå Ψ1 ïðèíèìàåò îäíî è òî æå çíà÷åíèå, ðàâíîå
Ψ1 (d). àçäåëèâ íà |k|, çàïèøåì òåïåðü óðàâíåíèå (2.4) â âèäå n·x = at+c,

                                    189

Страницы