Классические методы математической физики - 191 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Ψ
1
(kx − ωt) Ψ
2
(kx + ωt) Ψ
1
(kx − ωt) =
Ψ
1
[k(x −at)] ≡ θ
1
(x −at)
Ψ
2
(kx + ωt) ≡ θ
2
(x + at)
Ψ
1
(kx − ωt) + Ψ
2
(kx + ωt) ≡ θ
1
(x − at) + θ
2
(x + at)
θ
1
θ
2
Ψ
1
Ψ
2
R
r
kr −ωt kr + ωt
R
3
r, θ, ϕ
∂
2
Ψ
∂t
2
= a
2
1
r
2
∂
∂r
(r
2
∂Ψ
∂r
) +
1
r
2
sin θ
∂
∂θ
(sin θ
∂Ψ
∂θ
) +
1
r
2
sin
2
θ
∂
2
Ψ
∂ϕ
2
.
Ψ θ ϕ
r
∂
2
∂t
2
(rΨ) = a
2
∂
2
∂r
2
(rΨ).
u = rΨ
x = r > 0
1
r
Ψ
1
(kr − ωt),
1
r
Ψ
2
(kr + ωt), k =
ω
a
, r > 0,
Ψ
1
Ψ
2
kr −ωt kr + ωt
r = 0 r = 0 a
r = 0
ïåðåïèñàâ âûðàæåíèÿ Ψ1 (kx − ωt) è Ψ2 (kx + ωt) â âèäå Ψ1 (kx − ωt) =
Ψ1 [k(x − at)] ≡ θ1(x − at), Ψ2(kx + ωt) ≡ θ2(x + at), çàêëþ÷àåì, ÷òî ëèíåé-
íàÿ êîìáèíàöèÿ
           Ψ1(kx − ωt) + Ψ2 (kx + ωt) ≡ θ1(x − at) + θ2 (x + at)       (2.7)

èìååò ñìûñë îáùåãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.6). Ïîñëåäíåå âûòåêàåò èç ðå-
çóëüòàòî⠟ 1, ãäå ïîêàçàíî, ÷òî ïóòåì ïîäõîäÿùåãî âûáîðà óíêöèé θ1
è θ2 ëèáî, ÷òî òî æå, óíêöèé Ψ1 è Ψ2 â (2.7), ìîæíî ïîëó÷èòü ëþáîå
÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.6), óäîâëåòâîðÿþùåå çàäàííûì íà÷àëüíûì
óñëîâèÿì. Ýòîò àêò îçíà÷àåò, ÷òî íà ïðÿìîé R ëþáîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
(2.6) èìååò èçè÷åñêèé ñìûñë îäíîé èç äâóõ áåãóùèõ ïëîñêèõ âîëí, ëèáî
èõ ëèíåéíîé êîìáèíàöèè.
    ïðîñòðàíñòâàõ á îëüøåãî ÷èñëà èçìåðåíèé ñóùåñòâóþò è äðóãèå òèïû
âîëí, â òîì ÷èñëå è áåãóùèõ.  êà÷åñòâå âàæíîãî ïðèìåðà óêàçàííûõ âîëí
îòìåòèì áåãóùóþ ñåðè÷åñêóþ âîëíó, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ðåøåíè-
åì óðàâíåíèÿ (2.2), çàâèñÿùèì îò ðàäèàëüíîé ñåðè÷åñêîé ïåðåìåííîé r
è ðàçíîñòè kr − ωt, ëèáî ñóììû kr + ωt. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ óêàçàííîé âîëíû
ââåäåì â R3 ñåðè÷åñêèå êîîðäèíàòû r, θ, ϕ è, èñïîëüçóÿ èçâåñòíîå ïðåä-
ñòàâëåíèå îïåðàòîðà Ëàïëàñà â ñåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ (ñì. Ÿ 3 ãë. 1),
çàïèøåì óðàâíåíèå (2.2) â âèäå

       ∂ 2Ψ                                                      ∂ 2Ψ
                                                                     
              2 1 ∂        2 ∂Ψ      1    ∂         ∂Ψ      1
            =a          (r      )+ 2         (sin θ    )+ 2 2           .
       ∂t2        r2 ∂r      ∂r   r sin θ ∂θ        ∂θ   r sin θ ∂ϕ2
 ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî Ψ íå çàâèñèò îò θ è ϕ, ýòî óðàâíåíèå ïîñëå óìíîæå-
íèÿ íà r ìîæíî çàïèñàòü àíàëîãè÷íî (2.6) â âèäå

                           ∂2          2 ∂
                                           2
                               (rΨ) = a      (rΨ).                     (2.8)
                           ∂t2          ∂r2
(2.8) îçíà÷àåò, ÷òî óíêöèÿ u = rΨ â òî÷íîñòè óäîâëåòâîðÿåò îäíîìåðíîìó
âîëíîâîìó óðàâíåíèþ âèäà (1.1) ïðè x = r > 0. Èç ðåçóëüòàòî⠟ 1 òîãäà
âûòåêàåò, ÷òî ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ (2.8) ÿâëÿþòñÿ óíêöèè
               1               1                ω
                 Ψ1 (kr − ωt), Ψ2 (kr + ωt), k = , r > 0,              (2.9)
               r               r                a
ãäå Ψ1 è Ψ2  ïðîèçâîëüíûå ãëàäêèå óíêöèè ñâîèõ àðãóìåíòîâ. Ïîñêîëüêó
àçà kr − ωt (ëèáî kr + ωt) ñîõðàíÿåòñÿ íà ëþáîé ñåðå, áåãóùåé îò òî÷êè
r = 0 (ëèáî ê òî÷êå r = 0) ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ a, òî êàæäàÿ èç óíêöèé
â (2.9) íàçûâàåòñÿ áåãóùåé ñåðè÷åñêîé âîëíîé ñ öåíòðîì â òî÷êå r = 0, à
ñàìà áåãóùàÿ ñåðà  åå ðîíòîì. Ïðè ýòîì ïåðâàÿ óíêöèÿ â (2.9) íîñèò
íàçâàíèå ðàñõîäÿùåéñÿ (ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ ëèáî óõîäÿùåé) ñåðè÷åñêîé
âîëíû. Ýòà âîëíà îòëè÷àåòñÿ îò ñîîòâåòñòâóþùåé ïëîñêîé âîëíû òåì, ÷òî

                                    191

Страницы