Классические методы математической физики - 192 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

1/r
1/r
a
Z
S
Ψ
2
i
dσ, i = 1, 2,
S
R
3
ρ = 0 ρ = 0
ρ
kρ − ωt kρ + ωt
1
√
ρ
Ψ
1
(kρ − ωt) (
1
√
ρ
Ψ
2
(kρ + ωt)), k =
ω
a
.
Ψ
1
Ψ
2
Ψ
1
Ψ
2
Ψ
1
Ψ
2
ρ, ϕ, z Ψ
1
Ψ
2
ϕ
z
∂
2
Ψ
∂t
2
= a
2
1
ρ
∂
∂ρ
(ρ
∂Ψ
∂ρ
).
ρ
Ψ/4ρ
2
√
ρ
∂
2
(
√
ρΨ)
∂t
2
= a
2
∂
2
∂ρ
2
(
√
ρΨ).
ρ > 0
åå àìïëèòóäà óáûâàåò êàê 1/r ïî ìåðå óäàëåíèÿ îò öåíòðà, õîòÿ è ïîñòîÿííà
âî âñåõ òî÷êàõ ðîíòà. Âòîðàÿ óíêöèÿ â (2.9) íàçûâàåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ
(ëèáî ïðèõîäÿùåé) ñåðè÷åñêîé âîëíîé. Îíà îòëè÷àåòñÿ îò ïëîñêîé âîëíû
òåì, ÷òî åå àìïëèòóäà ðàñòåò êàê 1/r ïðè ïðèáëèæåíèè âîëíû ê öåíòðó.
   Ñîïîñòàâëÿÿ áåãóùèå ïëîñêèå è ñåðè÷åñêèå âîëíû, ìîæíî ñäåëàòü âû-
âîä, ÷òî óêàçàííûå âîëíû õàðàêòåðèçóþòñÿ ñëåäóþùèìè äâóìÿ îáùèìè
ñâîéñòâàìè:
   1) îáå âîëíû çàâèñÿò îò âðåìåíè è îäíîé ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé,
ïðè ýòîì àçà êàæäîé âîëíû ñîõðàíÿåòñÿ íà åå ðîíòàõ, ò. å. íà áåãóùèõ
ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ a ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ äëÿ ïëîñêèõ âîëí è
êîíöåíòðè÷åñêèõ ñåðàõ äëÿ ñåðè÷åñêèõ âîëí;
   2) âåëè÷èíà              Z
                                Ψ2i dσ, i = 1, 2,
                            S
èìåþùàÿ èçè÷åñêèé ñìûñë ýíåðãèè âîëíû, ïåðåíîñèìîé ëþáûì åå ðîí-
òîì S , îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé ñ òå÷åíèåì âðåìåíè (áåñêîíå÷íîé äëÿ ïëîñêîé
âîëíû è êîíå÷íîé äëÿ ñåðè÷åñêîé âîëíû).
   Àíàëîãè÷íûìè ñâîéñòâàìè îáëàäàþò äðóãèå áåãóùèå âîëíû â R3 : öè-
ëèíäðè÷åñêèå, ñåðîèäàëüíûå è ò. ä.  ÷àñòíîñòè, áåãóùåé öèëèíäðè÷åñêîé
ðàñõîäÿùåéñÿ îò îñè ρ = 0 (ëèáî ñõîäÿùåéñÿ ê îñè ρ = 0) âîëíîé íàçû-
âàåòñÿ óíêöèÿ îò ðàäèàëüíîé öèëèíäðè÷åñêîé êîîðäèíàòû ρ è ðàçíîñòè
kρ − ωt (ëèáî ñóììû kρ + ωt), îïðåäåëÿåìàÿ îðìóëîé
              1                     1                 ω
             √ Ψ1 (kρ − ωt) ( ëèáî √ Ψ2(kρ + ωt)), k = .             (2.10)
               ρ                     ρ                a
Çäåñü Ψ1 è Ψ2  ãëàäêèå óíêöèè ñâîèõ àðãóìåíòîâ. Ñëåäóåò îäíàêî îòìå-
òèòü, ÷òî óíêöèè Ψ1 è Ψ2 â (2.10) íå óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ (2.2). Â
ýòîì ëåãêî óáåäèòüñÿ, åñëè ïîäñòàâèòü óíêöèþ Ψ1 (ëèáî Ψ2 ) â óðàâíåíèå
(2.2), çàïèñàííîå ñ ó÷åòîì ïðåäñòàâëåíèÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà â öèëèíäðè-
÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ ρ, ϕ, z (ñì. Ÿ 3, ãë. 1) è íåçàâèñèìîñòè Ψ1 è Ψ2 îò ϕ è
z â âèäå
                            ∂ 2Ψ      1 ∂ ∂Ψ
                               2
                                 = a2      (ρ     ).                 (2.11)
                             ∂t       ρ ∂ρ ∂ρ
Îäíàêî, åñëè, ñ÷èòàÿ ρ äîñòàòî÷íî áîëüøèì, ïðèáàâèòü ê ïðàâîé ÷àñòè
(2.11) ìàëîå ñëàãàåìîå  Ψ/4ρ2 , è óìíîæèòü ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå íà
√
  ρ, òî ïîëó÷èì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå
                             √
                         ∂ 2( ρΨ)       2 ∂
                                            2
                                                √
                                   =  a       (  ρΨ).                (2.12)
                             ∂t2         ∂ρ2
Èç ðåçóëüòàòî⠟ 1 òåïåðü ëåãêî ñëåäóåò, ÷òî îáå óíêöèè â (2.10) ÿâëÿþòñÿ
ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ (2.12) ïðè ρ > 0. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî óðàâíåíèå (2.2)

                                     192

Страницы