Классические методы математической физики - 190 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

n = k/|k| c = d/|k| t
R
3
n
t
R
3
a
k
Ψ
1
Ψ
1
(d)
R
3
Ψ
1
(d)
t = t
0
x k · x = ωt
0
+ d
Ψ
1
(d)
a
k k
a
Ψ
1
k ·x −ωt Ψ
1
Ψ
2
(k · x + ωt)
a
k
x
kx − ωt = d, kx + ωt = d Ψ
1
(kx − ωt), Ψ
2
(kx + ωt).
k = ω/a
k Ψ
1
(kx−ωt) Ψ
2
(kx+ωt)
x
∂
2
Ψ
∂t
2
= a
2
∂
2
Ψ
∂x
2
,
n = k/|k|, c = d/|k|. Ïðè èêñèðîâàííîì t ýòî åñòü óðàâíåíèå ïëîñêî-
ñòè â îáû÷íîì òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå R3 , ïðè÷åì âåêòîð n ñëóæèò äëÿ
ýòîé ïëîñêîñòè âåêòîðîì åäèíè÷íîé íîðìàëè. Ñ âîçðàñòàíèåì t óêàçàííàÿ
ïëîñêîñòü äâèæåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå R3 ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ, ðàâíîé a,
ïàðàëëåëüíî ñàìîé ñåáå â íàïðàâëåíèè âåêòîðà k. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî íà ýòîé
äâèæóùåéñÿ (èëè áåãóùåé) ïëîñêîñòè ðåøåíèå Ψ1 ïðèíèìàåò ïîñòîÿííîå
çíà÷åíèå Ψ1 (d), îïèñàííûé ïðîöåññ ìîæíî òðàêòîâàòü êàê ïðîöåññ ïåðåíî-
ñà â ïðîñòðàíñòâå R3 âîçìóùåíèÿ Ψ1 (d), âîçíèêøåãî â íà÷àëüíûé ìîìåíò
âðåìåíè t = t0 â êàæäîé òî÷êå x, ëåæàùåé íà ïëîñêîñòè k · x = ωt0 + d.
Ïîñêîëüêó âîçìóùåíèå Ψ1 (d) ïåðåíîñèòñÿ ïëîñêîñòüþ áåç èçìåíåíèÿ åãî
âåëè÷èíû è ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ a, òî îòñþäà è èäåò íàçâàíèå áåãó-
ùåé ïëîñêîé íåèñêàæàþùåéñÿ âîëíû. Âìåñòî òåðìèíà íåèñêàæàþùàÿñÿ
âîëíà èñïîëüçóþò òàêæå òåðìèí íåäåîðìèðóåìàÿ èëè îäíîðîäíàÿ âîëíà.
Íàïðàâëåíèå âåêòîðà k íàçûâàåòñÿ íàïðàâëåíèåì âîëíû, à ñàì âåêòîð k
íàçûâàþò âîëíîâûì âåêòîðîì, ïîñòîÿííàÿ a íàçûâàåòñÿ (àçîâîé) ñêîðî-
ñòüþ âîëíû, óíêöèÿ Ψ1 íîñèò íàçâàíèå îðìû èëè ïðîèëÿ âîëíû; íàêî-
íåö, ñàìà áåãóùàÿ ïëîñêîñòü, íà êîòîðîé àçà k · x − ωt, êàê è ðåøåíèå Ψ1 ,
ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå, íàçûâàåòñÿ ðîíòîì âîëíû. Àíàëîãè÷íûå
ðàññóæäåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî óíêöèÿ Ψ2 (k · x + ωt) îïèñûâàåò ïëîñêóþ
íåèñêàæàþùóþñÿ âîëíó, áåãóùóþ áåç èçìåíåíèÿ îðìû ñî ñêîðîñòüþ a â
ñòîðîíó, ïðîòèâîïîëîæíóþ íàïðàâëåíèþ âåêòîðà k.
   Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ñ ïîìîùüþ ïîâîðîòà ñèñòåìû êîîðäèíàò îñü x
ìîæíî ðàñïîëîæèòü ïåðïåíäèêóëÿðíî ðîíòó âîëíû. Òîãäà óðàâíåíèÿ ðîí-
òîâ âîëíû è ðåøåíèé (2.3) ïðèíèìàþò âèä
        kx − ωt = d, kx + ωt = d è Ψ1 (kx − ωt), Ψ2(kx + ωt).       (2.5)
Çäåñü ïîñòîÿííàÿ k = ω/a, íàçûâàåìàÿ âîëíîâûì ÷èñëîì, ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿð-
íûì àíàëîãîì âîëíîâîãî âåêòîðà k. Ôóíêöèÿ Ψ1 (kx−ωt)(ëèáî Ψ2 (kx+ωt))
îïèñûâàåò ïëîñêóþ âîëíó, áåãóùóþ â ïîëîæèòåëüíîì (ëèáî îòðèöàòåëü-
íîì) íàïðàâëåíèè îñè x, è íàçûâàåòñÿ ïðÿìîé (ëèáî îáðàòíîé) ïëîñêîé
âîëíîé. Âàæíî îòìåòèòü ïðè ýòîì, ÷òî êàæäàÿ èç óíêöèé â (2.5) ÿâëÿåò-
ñÿ ðåøåíèåì êàê òðåõìåðíîãî îäíîðîäíîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ (2.2), òàê
è îäíîìåðíîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ
                            ∂ 2Ψ      2
                                    2∂ Ψ
                                 = a     ,                       (2.6)
                             ∂t2     ∂x2
îïèñûâàþùåãî, íàïðèìåð, ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ ñòðóíû . Òàêèì îáðàçîì,
ïðîöåññû ðàñïðîñòðàíåíèÿ áåãóùåé ïëîñêîé âîëíû è êîëåáàíèé ñòðóíû
îïèñûâàþòñÿ îäíèì è òåì æå îäíîìåðíûì âîëíîâûì óðàâíåíèåì (2.6). Óêà-
çàííûé àêò íå ñëó÷àåí, à ÿâëÿåòñÿ ïðîÿâëåíèåì îáùåé çàêîíîìåðíîñòè,
çàêëþ÷àþùåéñÿ â òîì, ÷òî ìíîãèå ðàçëè÷íûå ïî ñâîåé ïðèðîäå âîëíîâûå
ïðîöåññû îïèñûâàþòñÿ îäíèì è òåì æå âîëíîâûì óðàâíåíèåì. Íàêîíåö,

                                   190

Страницы