Классические методы математической физики - 188 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

R
x = 0 Q
2
x = at
u
Q
2
x = 0
Q
2
ϕ ψ
(0, l)
x = 0 x = l
R
3
∂
2
Ψ
∂t
2
= a
2
∆Ψ + F (x, t).
∆ a
2
= const > 0, F Ψ
F = 0
∂
2
Ψ
∂t
2
= a
2
∆Ψ
ñ ðåøåíèåì Äàëàìáåðà (1.13) çàäà÷è Êîøè (1.1), (1.10). Òàêèì îáðàçîì,
â ýòîé îáëàñòè îòñóòñòâóåò âëèÿíèå ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ (1.42), à âîëíî-
âîé ïðîöåññ ïðîèñõîäèò òàê æå, êàê è íà âñåé îñè R â îòñóòñòâèå ãðàíèöû
x = 0. Íàîáîðîò, â îáëàñòè Q2, ëåæàùåé âûøå õàðàêòåðèñòèêè x = at, ðå-
øåíèå u îòëè÷àåòñÿ îò ðåøåíèÿ Äàëàìáåðà (1.13). Ôèçè÷åñêè ýòî ñâÿçàíî
ñ ïîÿâëåíèåì â Q2 íàðÿäó ñ ïðÿìîé âîëíîé, îïèñûâàåìîé ðåøåíèåì Äà-
ëàìáåðà (1.13), îòðàæåííîé âîëíû, ïîëó÷àåìîé îòðàæåíèåì ïðÿìîé âîëíû
îò êîíöà x = 0. Ñóììà ïðÿìîé è îòðàæåííîé âîëí è äàåò èñêîìîå ðåøå-
íèå â îáëàñòè Q2 , ñòîÿùåå â íèæíåé ÷àñòè (1.48). Àíàëîãè÷íàÿ ñèòóàöèÿ
ñïðàâåäëèâà è â îòíîøåíèè îðìóëû (1.50). Áîëåå ïîäðîáíîå îáñóæäåíèå
ýòèõ âîïðîñîâ ìîæíî íàéòè â [56, ñ. 6878℄, ãäå èçëîæåííàÿ ïðîöåäóðà ïðî-
äîëæåíèÿ íà÷àëüíûõ óíêöèé ϕ è ψ íå÷åòíûì îáðàçîì â ñëó÷àå óñëîâèÿ
Äèðèõëå (1.42) è ÷åòíûì îáðàçîì â ñëó÷àå óñëîâèÿ Íåéìàíà (1.49) èñïîëü-
çóåòñÿ òàêæå ïðè íàõîæäåíèè ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.1) íà îãðàíè÷åííîì
èíòåðâàëå (0, l), íà êîíöàõ êîòîðîãî çàäàíû ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ Äèðèõëå
ëèáî Íåéìàíà.  [56℄ ïîêàçàíî, ÷òî ïîëó÷åííîå ñ ïîìîùüþ ïðîöåäóðû ïðî-
äîëæåíèÿ íà÷àëüíûõ óíêöèé ðåøåíèå èìååò âèä ñóììû ïðÿìîé âîëíû
(1.13) è áåñêîíå÷íîé ñóììû îòðàæåííûõ âîëí, ïîëó÷åííûõ ïîñëåäîâàòåëü-
íûì îòðàæåíèåì ïðÿìîé âîëíû îò êîíöîâ x = 0 è x = l.

    Ÿ2. Âîëíîâîå óðàâíåíèå è áåãóùèå âîëíû. Îáçîð
                 èçè÷åñêèõ ïîíÿòèé

  àññìîòðèì â ïðîñòðàíñòâå R3 ëèíåéíîå äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå
                         ∂ 2Ψ
                            2
                              = a2 ∆Ψ + F (x, t).                   (2.1)
                         ∂t
Çäåñü ∆  ñêàëÿðíûé ëàïëàñèàí, a2 = const > 0, F - çàäàííàÿ óíêöèÿ, Ψ 
íåèçâåñòíàÿ óíêöèÿ, ïîä êîòîðîé áóäåì ïîíèìàòü ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë
êàêîãî-ëèáî èçè÷åñêîãî ïîëÿ. åøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.1) îïèñûâàþò âîëíî-
âûå ïðîöåññû, ïîýòîìó åãî íàçûâàþò (ñêàëÿðíûì) âîëíîâûì óðàâíåíèåì.
Ïðè F = 0 óðàâíåíèå
                              ∂ 2Ψ
                                 2
                                   = a2 ∆Ψ                         (2.2)
                              ∂t
íàçûâàþò îäíîðîäíûì âîëíîâûì óðàâíåíèåì.
   Ñóùåñòâóåò áîëüøîå êîëè÷åñòâî âîëí ðàçëè÷íîé èçè÷åñêîé ïðèðîäû.
Ñðåäè íèõ îñîáóþ ðîëü èãðàþò çâóêîâûå (àêóñòè÷åñêèå) è ýëåêòðîìàã-
íèòíûå âîëíû, äàþùèå ÷åëîâåêó îñíîâíóþ ÷àñòü èíîðìàöèè îá îêðóæà-
þùåì ìèðå. ëàâíîå ñâîéñòâî âñåõ âîëíîâûõ ïðîöåññîâ íåçàâèñèìî îò èõ
ïðèðîäû ñîñòîèò â òîì, ÷òî âîëíû îñóùåñòâëÿþò ïåðåíîñ ýíåðãèè áåç ïåðå-
íîñà âåùåñòâà (ïîñëåäíåå ìîæåò èìåòü ìåñòî ëèøü êàê ïîáî÷íûé ýåêò).

                                   188

Страницы