Классические методы математической физики - 194 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Ψ|
t=t
0
= Ψ
0
(x),
∂Ψ
∂t
t=t
0
= Ψ
1
(x),
t
0
S D
D 6= R
3
a(x, t)Ψ + b(x, t)
∂Ψ
∂n
= g(x, t)
S.
Ψ
0
, Ψ
1
, a, b g
D = R
3
R
3
F Ψ
F (x, t) = f(x)e
−iωt
, Ψ(x, t) = Φ(x)e
−iωt
,
ω f(x)
Φ(x) F Ψ
Φ
LΦ ≡ ∆Φ + k
2
Φ = −f(x),
k = ω/a
Φ
′′
+k
2
Φ = −f(x)
Φ
′′
+ k
2
Φ = 0
f = 0 Φ(x) =
C
1
e
ikx
+ C
2
e
−ikx
C
1
C
2
Ψ
1
(x, t) = e
i(kx−ωt)
, Ψ
2
(x, t) = e
−i(kx+ωt)
.
íîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé. Ïîýòîìó íåîáõîäèìî ââîäèòü äîïîëíèòåëüíûå óñëî-
âèÿ, õàðàêòåðèçóþùèå âîëíîâîé ïðîöåññ. Òàêèìè óñëîâèÿìè îáû÷íî ÿâëÿ-
þòñÿ íà÷àëüíûå óñëîâèÿ
                                         ∂Ψ
                     Ψ|t=t0 = Ψ0 (x),                = Ψ1 (x),      (2.13)
                                         ∂t   t=t0

îòíîñÿùèåñÿ ê ìîìåíòó âðåìåíè t0 , ñ êîòîðîãî íà÷èíàåòñÿ ïðîöåññ, è ãðà-
íè÷íûå (êðàåâûå) óñëîâèÿ, ò.å. óñëîâèÿ, çàäàííûå íà ãðàíèöå S îáëàñòè D,
ãäå èçó÷àåòñÿ âîëíîâîé ïðîöåññ, åñëè, êîíå÷íî, D 6= R3 . Óêàçàííûå óñëîâèÿ
â îáùåì ñëó÷àå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:
                                        ∂Ψ
                   a(x, t)Ψ + b(x, t)      = g(x, t) íà S.          (2.14)
                                        ∂n
Çäåñü Ψ0 , Ψ1 , a, b è g  çàäàííûå óíêöèè ñâîèõ àðãóìåíòîâ. Çàäà÷à
(2.1), (2.13), (2.14) íàçûâàåòñÿ íà÷àëüíî - êðàåâîé çàäà÷åé äëÿ óðàâíåíèÿ
(2.1).  ñëó÷àå, åñëè D = R3 , òàê ÷òî âîëíîâîé ïðîöåññ ðàññìàòðèâàåòñÿ âî
âñåì ïðîñòðàíñòâå R3 , êðàåâûå óñëîâèÿ (2.14), åñòåñòâåííî, îòñóòñòâóþò, à
çàäà÷à (2.1), (2.13) íàçûâàåòñÿ çàäà÷åé Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ (2.1).
   2.2.    àðìîíè÷åñêèå âîëíû. Óðàâíåíèå           åëüìãîëüöà. Âàæíûì
êëàññîì ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (2.1) ÿâëÿþòñÿ ãàðìîíè÷åñêèå âîëíû, ò.å. âîë-
íû ñ ãàðìîíè÷åñêîé çàâèñèìîñòüþ îò âðåìåíè. Äëÿ òàêèõ âîëí îáúåìíóþ
ïëîòíîñòü F è ïîòåíöèàë Ψ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå:

                 F (x, t) = f (x)e−iωt, Ψ(x, t) = Φ(x)e−iωt,        (2.15)

ãäå ω  êðóãîâàÿ ÷àñòîòà ðàññìàòðèâàåìîãî ãàðìîíè÷åñêîãî ïðîöåññà, f (x)
è Φ(x)- êîìïëåêñíûå (â îáùåì ñëó÷àå) àìïëèòóäû ïîëåé F è Ψ. Ïîäñòàâ-
ëÿÿ (2.15) â (2.1), ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó óðàâíåíèþ äëÿ óíêöèè Φ:

                         LΦ ≡ ∆Φ + k 2 Φ = −f (x),                  (2.16)

ãäå k = ω/a. Ëåâàÿ ÷àñòü â (2.16) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îïåðàòîð åëüìãîëü-
öà, ïîýòîìó óðàâíåíèå (2.16) íàçûâàþò óðàâíåíèåì åëüìãîëüöà.
    îäíîìåðíîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (2.16) ïðèíèìàåò âèä Φ′′ +k 2 Φ = −f (x),
èëè
                              Φ′′ + k 2Φ = 0                        (2.17)
ïðè f = 0. Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.17) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå Φ(x) =
C1eikx + C2e−ikx, ãäå C1 è C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå. Îòñþäà è (2.15)
ñëåäóåò, ÷òî âñå ãàðìîíè÷åñêèå âîëíû äëÿ îäíîìåðíîãî âîëíîâîãî óðàâíå-
íèÿ (2.6) îïèñûâàþòñÿ îðìóëàìè

                 Ψ1 (x, t) = ei(kx−ωt) , Ψ2(x, t) = e−i(kx+ωt) .    (2.18)

                                        194

Страницы