Классические методы математической физики - 196 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

v kx − ωt kx + ωt
v = ω/k
c 6= 0
ω k
ω
2
− a
2
k
2
+ c = 0.
ω k
v v ≡ ω/k = ωa/
√
ω
2
+ c
c 6= 0 v
c = 0
v a
c = 0
c = 0
∂
2
v
∂x
2
= LC
∂
2
v
∂t
2
+ (RC + GL)
∂v
∂t
+ GRv.
R, L, C G
v = ue
−µt
µ = 0.5(RC + GL)/CL
u
∂
2
u
∂t
2
= a
2
∂
2
u
∂x
2
+ cu,
a =
p
1/LC c = (RC−GL)
2
/4 LC
c 6= 0 RC 6= GL
Ôóðüå ïðåäñòàâëåíà â âèäå ñóïåðïîçèöèè ãàðìîíè÷åñêèõ âîëí âèäà (2.18).
Ñêîðîñòü v , ñ êîòîðîé àçà kx − ωt ëèáî kx + ωt âîëí â (2.18) ïåðåìå-
ùàåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå, íàçûâàåòñÿ àçîâîé ñêîðîñòüþ âîëíû. Î÷åâèäíî,
÷òî v = ω/k . Åñëè àçîâàÿ ñêîðîñòü ãàðìîíè÷åñêîé âîëíû çàâèñèò îò ÷à-
ñòîòû, òî ãîâîðÿò, ÷òî âîëíîâîé ïðîöåññ ñîïðîâîæäàåòñÿ äèñïåðñèåé. Ïðè
íàëè÷èè äèñïåðñèè ðàçëè÷íûå ãàðìîíè÷åñêèå ñîñòàâëÿþùèå âîëíû ðàñ-
ïðîñòðàíÿþòñÿ ñ ðàçíûìè ñêîðîñòÿìè è, ñëåäîâàòåëüíî, ñìåùàþòñÿ äðóã
îòíîñèòåëüíî äðóãà. Ýòî ïðèâîäèò ê èñêàæåíèþ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ïðî-
èëÿ ðàññìàòðèâàåìîé âîëíû.
   Ïðîñòîé àíàëèç ïîêàçûâàåò, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì âîëíîâîì ïðîöåñ-
ñå äèñïåðñèÿ ïðèñóòñòâóåò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñîîòâåòñòâóþùåå
âîëíîâîå óðàâíåíèå íå äîïóñêàåò ðåøåíèé â âèäå áåãóùèõ âîëí ïðîèçâîëü-
íîé îðìû. Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî äèñïåðñèÿ èìååò ìåñòî äëÿ
óðàâíåíèÿ (2.21) ïðè c 6= 0. Óêàçàííûé àêò ìîæíî ïîêàçàòü è àíàëèòè÷å-
ñêè. Äëÿ ýòîãî ïîäñòàâèì â (2.21) ëþáóþ èç óíêöèé â (2.18). Â ðåçóëüòàòå
ïîëó÷èì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå, ñâÿçûâàþùåå ω è k :

                            ω 2 − a2 k 2 + c = 0.                   (2.22)

Óðàâíåíèå (2.22) íàçûâàåòñÿ äèñïåðñèîííûì óðàâíåíèåì, îòâå÷àþùåì âîë-
íîâîìó óðàâíåíèþ (2.21). Ïî ïîñòðîåíèþ êàæäàÿ èç óíêöèé â (2.18) ÿâ-
ëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (2.21) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïàðàìåòðû
ω è k ñâÿçàíû äèñïåðñèîííûì óðàâíåíèåì (2.22). Èç (2.22)√ñëåäóåò, ÷òî à-
çîâàÿ ñêîðîñòü v îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé v ≡ ω/k = ωa/ ω 2 + c. Îòñþäà
âèäíî, ÷òî ïðè c 6= 0 àçîâàÿ ñêîðîñòü v çàâèñèò îò ÷àñòîòû. Íàîáîðîò, ïðè
âûïîëíåíèè óñëîâèÿ c = 0, ò.å. â ñëó÷àå, êîãäà (2.21) ïðèíèìàåò âèä óðàâ-
íåíèÿ êîëåáàíèé ñòðóíû, àçîâàÿ ñêîðîñòü v ðàâíà a, ò.å. íå çàâèñèò îò
÷àñòîòû. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè c = 0 äèñïåðñèÿ îòñóòñòâóåò. Ñ ó÷åòîì ýòîãî
óñëîâèå c = 0 èìååò ñìûñë óñëîâèÿ îòñóòñòâèÿ äèñïåðñèè (èëè èñêàæåíèÿ)
âîëíû.
    êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì òåëåãðàíîå óðàâíåíèå (ñì. Ÿ8 ãë.1)

                 ∂ 2v     ∂ 2v          ∂v
                    2
                      = LC 2 + (RC + GL) + GRv.                     (2.23)
                 ∂x       ∂t            ∂t
Çäåñü R, L, C è G - êîýèöèåíòû ñîïðîòèâëåíèÿ, ñàìîèíäóêöèè, åìêîñòè
è óòå÷êè, ðàññ÷èòàííûå íà åäèíèöó äëèíû ëèíèè. Ïîëàãàÿ v = ue−µt, ãäå
µ = 0.5(RC + GL)/CL, ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó óðàâíåíèþ äëÿ íîâîé
óíêöèè u:
                             ∂ 2u     2
                                    2∂ u
                                  =a     + cu,                     (2.24)
                             ∂t2     ∂x2
ãäå a = 1/LC , c = (RC −GL)2/4 LC . Èç ïðèâåäåííîãî àíàëèçà âûòåêàåò,
       p
÷òî ïðè c 6= 0, ò.å. ïðè RC 6= GL, èìååò ìåñòî äèñïåðñèÿ, òàê ÷òî ñèãíàë

                                    196

Страницы