Классические методы математической физики - 197 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

RC = GL
R
L
=
G
C
u ≡ ve
+µt
v
1
(x, t) = e
−γt
θ
1
(x − at), v
2
(x, t) = e
−γt
θ
2
(x + at), γ =
R
L
=
G
C
, a =
1
√
LC
,
θ
1
, θ
2
R
3
R
2
∂
2
u
∂t
2
= a
2
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
+
∂
2
u
∂z
2
R
4
+
≡ R
3
× (0, ∞)
u|
t=0
= ϕ
0
(x),
∂u
∂t
t=0
= ϕ
1
(x), x = (x, y, z) ∈ R
3
.
ϕ
0
∈ C
3
(R
3
), ϕ
1
∈ C
2
(R
3
).
x = (x, y, z) ∈ R
3
B
at
(x)
S
at
(x) r = at x
y = (ξ, η, ζ) S
at
(x)
ϕ ∈ C
2
(R
3
)
ïî ýëåêòðè÷åñêîé ëèíèè ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ñ èñêàæåíèåì. Ñ ó÷åòîì ýòîãî
óñëîâèå
                                         R G
                       RC = GL èëè         =                     (2.25)
                                         L   C
åñòåñòâåííî íàçâàòü óñëîâèåì îòñóòñòâèÿ èñêàæåíèÿ ñèãíàëîâ â òåëåãðà-
íîé ëèíèè. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (2.25) óíêöèÿ u ≡ ve+µt óäîâëå-
òâîðÿåò óðàâíåíèþ êîëåáàíèé ñòðóíû è, ñëåäîâàòåëüíî, ìîæåò áûòü ïðåä-
ñòàâëåíà â âèäå ñóììû áåãóùèõ ïëîñêèõ âîëí. Âåðíóâøèñü ê èñõîäíîìó
òåëåãðàíîìó óðàâíåíèþ (2.23), ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè
óñëîâèÿ (2.25) òåëåãðàíîå óðàâíåíèå äîïóñêàåò ðåøåíèÿ â âèäå çàòóõà-
þùèõ áåãóùèõ ïëîñêèõ âîëí
                                                                R G        1
 v1 (x, t) = e−γt θ1(x − at), v2(x, t) = e−γtθ2 (x + at), γ =     = ,a = √    ,
                                                                L  C       LC
ãäå θ1 , θ2 - ïðîèçâîëüíûå óíêöèè. Îòñóòñòâèå èñêàæåíèÿ âîëí ïðè èõ
ðàñïðîñòðàíåíèè ïî ýëåêòðè÷åñêîé ëèíèè, êîòîðîå âûïîëíÿåòñÿ ïðè âû-
ïîëíåíèè óñëîâèÿ (2.25), èìååò îñîáî âàæíîå çíà÷åíèå äëÿ òåëåîííîé è
òåëåãðàíîé ñâÿçè íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ.


      Ÿ3. Îäíîðîäíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå â R3 è R2

  3.1. Òðåõìåðíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå. åøåíèå çàäà÷è Êîøè.
Ôîðìóëà Êèðõãîà.            àññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ òðåõìåðíîãî âîëíî-
âîãî óðàâíåíèÿ
           ∂ 2u            ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
                                             
              2
                = a2           +    +              â   R4+ ≡ R3 × (0, ∞)    (3.1)
           ∂t              ∂x2 ∂y 2 ∂z 2
è áóäåì èñêàòü åãî êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíûì
óñëîâèÿì
                                ∂u
            u|t=0 = ϕ0(x),                 = ϕ1 (x), x = (x, y, z) ∈ R3 .   (3.2)
                                ∂t   t=0

Áóäåì ïðåäïîëàãàòü íèæå, ÷òî

                            ϕ0 ∈ C 3(R3 ), ϕ1 ∈ C 2(R3 ).                   (3.3)

   Ïóñòü x = (x, y, z) ∈ R3  ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Bat (x)
(ëèáî Sat (x)) øàð (ëèáî ñåðó) ðàäèóñà r = at ñ öåíòðîì â òî÷êå x, ÷åðåç
y = (ξ, η, ζ) îáîçíà÷èì ïåðåìåííóþ òî÷êó ñåðû Sat (x) (ñì. ðèñ.3.1). Ïîêà-
æåì ñíà÷àëà, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîé óíêöèè ϕ ∈ C 2 (R3 ) ïîâåðõíîñòíûé


                                            197

Страницы