Классические методы математической физики - 195 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

ω
0 < ω < ∞
k f λ
T ω
k =
ω
a
, f =
ω
2π
, λ =
a
f
=
2πa
ω
=
2π
k
, T =
1
f
=
2π
ω
=
λ
a
.
u x
t
Φ, f
Φ
θ(x±at)
θ
a, b
1
, b
2
¯c
∂
2
v
∂t
2
− a
2
∂
2
v
∂x
2
+ b
1
∂v
∂t
+ b
2
∂v
∂x
+ ¯cv = 0.
v = ue
λx+µt
, µ = −0.5b
1
, λ = −0.5b
2
/a
2
u
∂
2
u
∂t
2
− a
2
∂
2
u
∂x
2
+ cu = 0,
c = ¯c+(b
1
/2)
2
−(b
2
/2a)
2
c 6= 0
θ(x −at)
a
2
θ
′′
− a
2
θ
′′
+ cθ = 0 θ
c = 0
u x t
Êàæäàÿ èç âîëí â (2.18) õàðàêòåðèçóåòñÿ êðóãîâîé ÷àñòîòîé ω , êîòîðàÿ
ÿâëÿåòñÿ ïàðàìåòðîì âîëíû, èçìåíÿþùèìñÿ â äèàïàçîíå 0 < ω < ∞, à
òàêæå âîëíîâûì ÷èñëîì k , öèêëè÷åñêîé ÷àñòîòîé f , äëèíîé âîëíû λ è
ïåðèîäîì T . Ïîñëåäíèå îïðåäåëÿþòñÿ ïî ω ñîîòíîøåíèÿìè
           ω      ω      a  2πa 2π      1  2π  λ
      k=     , f=    , λ= =    =   , T = =    = .                        (2.19)
           a      2π     f   ω   k      f  ω   a
Ôóíêöèè (2.18) èãðàþò âàæíóþ ðîëü ïðè èññëåäîâàíèè âîëíîâûõ ïðîöåñ-
ñîâ. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ïðîèçâîëüíóþ óíêöèþ u äâóõ ïåðåìåííûõ x è
t ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñ ïîìîùüþ åå ðàçëîæåíèÿ â èíòåãðàë èëè ðÿä Ôóðüå
â âèäå ñóïåðïîçèöèè ãàðìîíè÷åñêèõ âîëí âèäà (2.18).
   Çàìå÷àíèå 2.6. Ñëåäóåò îòìåòèòü,÷òî èñïîëüçîâàíèå ïðåäñòàâëåíèÿ
(2.15) ïðèâîäèò ê íåîáõîäèìîñòè îïåðèðîâàíèÿ ñ êîìïëåêñíîçíà÷íûìè, âî-
îáùå ãîâîðÿ, óíêöèÿìè Φ, f è ò.ä.  òî æå âðåìÿ èçè÷åñêèå ïðîöåññû
îïèñûâàþòñÿ, êàê ïðàâèëî, âåùåñòâåííîçíà÷íûìè óíêöèÿìè. Ââèäó ýòîãî
ïîä èñêîìûìè èçè÷åñêèìè âåëè÷èíàìè ñëåäóåò ïîíèìàòü íå ñàìè âûðà-
æåíèÿ â (2.15), à èõ âåùåñòâåííûå èëè ìíèìûå ÷àñòè. Äðóãèìè ñëîâàìè,
ðåøèâ óðàâíåíèå (2.16), ëèáî (2.17), çà èñêîìîå ðåøåíèå, èìåþùåå èçè-
÷åñêèé ñìûñë, ñëåäóåò áðàòü íå ñàìó óíêöèþ Φ, à åå âåùåñòâåííóþ (èëè
ìíèìóþ) ÷àñòü.
   2.3. Âîëíû ñ äèñïåðñèåé. Ìû óæå âèäåëè, ÷òî óðàâíåíèå êîëåáàíèé
ñòðóíû (2.6) äîïóñêàåò ðåøåíèÿ â âèäå áåãóùèõ âîëí θ(x±at) ïðîèçâîëüíîé
îðìû θ . Ê ñîæàëåíèþ ýòîò çàìå÷àòåëüíûé àêò óæå íå ñïðàâåäëèâ äëÿ
áîëåå îáùèõ óðàâíåíèé ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà, îïèñûâàþùèõ âîëíîâûå
ïðîöåññû.
   àññìîòðèì îáùåå óðàâíåíèå ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà âòîðîãî ïîðÿäêà ñ
ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè a, b1 , b2 è c̄:
                    ∂ 2v      2
                            2∂ v       ∂v       ∂v
                         − a     + b 1    + b 2    + c̄v = 0.            (2.20)
                    ∂t2      ∂x2       ∂t       ∂x
Ñ ïîìîùüþ ïîäñòàíîâêè v = ueλx+µt , µ = −0.5b1, λ = −0.5b2/a2 , îíî
ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåìó óðàâíåíèþ äëÿ óíêöèè u:
                            ∂ 2u     2
                                   2∂ u
                                 −a     + cu = 0,                        (2.21)
                            ∂t2     ∂x2
Çäåñü c = c̄+(b1 /2)2−(b2 /2a)2. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðè c 6= 0 óðàâíåíèå (2.21),
â îòëè÷èå îò (2.6), íå äîïóñêàåò ðåøåíèé â âèäå ïðîèçâîëüíîé áåãóùåé
âîëíû. Â ñàìîì äåëå, ïîäñòàâëÿÿ â (2.21), íàïðèìåð, âûðàæåíèå θ(x − at),
íàõîäèì: a2 θ ′′ − a2 θ ′′ + cθ = 0. Îòñþäà ñëåäóåò â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè θ ,
÷òî c = 0.
   Ïðîèçâîëüíàÿ óíêöèÿ u ïåðåìåííûõ x è t, ÿâëÿþùàÿñÿ, íàïðèìåð, ðå-
øåíèåì óðàâíåíèÿ (2.21), ìîæåò áûòü ñ ïîìîùüþ ðàçëîæåíèÿ â èíòåãðàë

                                      195

Страницы