Классические методы математической физики - 185 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

x > 0
u
∂
2
u
∂t
2
= a
2
∂
2
u
∂x
2
Q = R
x,+
× R
t,+
= (0, ∞) ×(0, ∞),
u|
t=0
= ϕ(x),
∂u
∂t
t=0
= ψ(x), 0 ≤ x < ∞
x = 0
u|
x=0
= g(t), 0 < t < ∞.
ϕ, ψ g
u|
x=0
= 0.
x = 0
ϕ
ψ x
0
x
0
ϕ ψ
x
0
x
x
0
x
0
= 0
ϕ(x) = −ϕ(−x), ψ(x) = −ψ(−x) ∀x ∈ R.
u
x = 0
u(0, t) ≡
ϕ(−at) + ϕ(at)
2
+
1
2a
at
Z
−at
ψ(ξ)dξ = 0.
  1.5. Íà÷àëüíî-êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ îäíîðîäíîãî âîëíîâîãî óðàâ-
íåíèÿ íà âåùåñòâåííîé ïîëóîñè.     àññìîòðèì â ýòîì ïóíêòå íà÷àëüíî-
êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ óðàâíåíèÿ (1.1) íà ïîëóîñè x > 0. Ýòà çàäà÷à èìå-
åò âàæíîå çíà÷åíèå ïðè èçó÷åíèè ïðîöåññîâ îòðàæåíèÿ âîëí îò ãðàíèö è
ñòàâèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: íàéòè êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå u îäíîðîäíîãî
âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ
        ∂ 2u     2
               2∂ u
             =a     â Q = Rx,+ × Rt,+ = (0, ∞) × (0, ∞),             (1.39)
        ∂t2     ∂x2
óäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíûì óñëîâèÿì
                                ∂u
                u|t=0 = ϕ(x),              = ψ(x), 0 ≤ x < ∞         (1.40)
                                ∂t   t=0

è ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ Äèðèõëå íà ëåâîì êîíöå x = 0, èìåþùåìó âèä

                        u|x=0 = g(t), 0 < t < ∞.                     (1.41)

Çäåñü ϕ, ψ è g  çàäàííûå óíêöèè ñâîèõ àðãóìåíòîâ.
  àññìîòðèì äëÿ ïðîñòîòû ñëó÷àé îäíîðîäíîãî ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ Äè-
ðèõëå
                              u|x=0 = 0.                      (1.42)
Çàäà÷à (1.39), (1.40), (1.42) îïèñûâàåò ðàñïðîñòðàíåíèå íà÷àëüíîãî âîçìó-
ùåíèÿ â ïîëóáåñêîíå÷íîé ñòðóíå ñ çàêðåïëåííûì ëåâûì êîíöîì x = 0.
Ïðèâåäåì ñëåäóþùèå äâå ëåììû î ñâîéñòâàõ ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè (1.1),
(1.10).
   Ëåììà 1.3. Åñëè â çàäà÷å Êîøè (1.1), (1.10) íà÷àëüíûå óíêöèè ϕ è
ψ ÿâëÿþòñÿ íå÷åòíûìè óíêöèÿìè îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé òî÷êè x0 ,
òî ñîîòâåòñòâóþùåå ðåøåíèå â ýòîé òî÷êå x0 ðàâíî íóëþ.
   Ëåììà 1.4. Åñëè â çàäà÷å Êîøè (1.1), (1.10) íà÷àëüíûå óíêöèè ϕ è ψ
ÿâëÿþòñÿ ÷åòíûìè óíêöèÿìè îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé òî÷êè x0 , òî
ïðîèçâîäíàÿ ïî x ñîîòâåòñòâóþùåãî ðåøåíèÿ â ýòîé òî÷êå ðàâíà íóëþ.
   Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 1.3. Âûáåðåì x0 çà íà÷àëî êîîðäèíàò, ò. å.
ïîëîæèì x0 = 0. Òîãäà óñëîâèÿ íå÷åòíîñòè íà÷àëüíûõ äàííûõ çàïèøóòñÿ
â âèäå
                 ϕ(x) = −ϕ(−x), ψ(x) = −ψ(−x) ∀x ∈ R.               (1.43)
Ñ ó÷åòîì (1.43) äëÿ ðåøåíèÿ u çàäà÷è (1.1), (1.10), îïðåäåëÿåìîãî îðìó-
ëîé Äàëàìáåðà (1.13), èìååì ïðè x = 0, ÷òî
                                                 Zat
                        ϕ(−at) + ϕ(at)    1
              u(0, t) ≡                +               ψ(ξ)dξ = 0.   (1.44)
                              2          2a
                                                −at


                                      185

Страницы