Классические методы математической физики - 183 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

v(x, t, τ)
x, t τ
∂
2
v
∂t
2
= a
2
∂
2
v
∂x
2
R × (τ, ∞)
t = τ
v|
t=τ
= 0,
∂v
∂t
t=τ
= f(x, τ)
R.
t t
1
= t − τ
w(x, t
1
, τ) ≡ v(x, t
1
+ τ, τ)
∂
2
w
∂t
2
1
= a
2
∂
2
w
∂x
2
R × (0, ∞), w|
t
1
=0
= 0,
∂w
∂t
1
t
1
=0
= f(x, τ)
R.
w
w(x, t
1
, τ) =
1
2a
x+at
1
Z
x−at
1
f(ξ, τ)dξ, x ∈ R, 0 ≤ t
1
< ∞.
f ∈ C
0
(R
2
+
) ∂f/∂x ∈ C
0
(R
2
+
)
t v
v(x, t, τ) =
1
2a
x+a(t−τ)
Z
x−a(t−τ)
f(ξ, τ)dξ, x ∈ R, τ ≤ t < ∞.
u : R
2
+
→ R
u(x, t) ≡
t
Z
0
v(x, t, τ)dτ =
1
2a
t
Z
0
x+a(t−τ)
Z
x−a(t−τ)
f(ξ, τ)dξdτ,
Äåéñòâèòåëüíî, äîáàâëÿÿ ê ýòîìó ðåøåíèþ ðåøåíèå çàäà÷è (1.1), (1.10) äëÿ
îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (1.1), îïðåäåëÿåìîå îðìóëîé (1.13), ìû ïîëó÷èì
â ñèëó ëèíåéíîñòè óðàâíåíèÿ (1.27) èñêîìîå ðåøåíèå çàäà÷è (1.27), (1.10).
    Ìíîãèå çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè îáëàäàþò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî ðå-
øåíèå ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà÷è äëÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ìîæåò áûòü
âûðàæåíî òåì èëè èíûì îáðàçîì ÷åðåç ðåøåíèå àíàëîãè÷íîé çàäà÷è äëÿ
ñîîòâåòñòâóþùåãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ. Ýòî èìååò ìåñòî è â ðàññìàòðè-
âàåìîì ñëó÷àå. Äåéñòâèòåëüíî. àññìîòðèì óíêöèþ v(x, t, τ ) ïåðåìåííûõ
x, t è ïàðàìåòðà τ , óäîâëåòâîðÿþùóþ îäíîðîäíîìó âîëíîâîìó óðàâíåíèþ
                    ∂ 2v     2
                           2∂ v
                         =a     â R × (τ, ∞)                                             (1.29)
                    ∂t2     ∂x2
è ñëåäóþùèì íà÷àëüíûì óñëîâèÿì ïðè t = τ :
                                       ∂v
                      v|t=τ = 0,                   = f (x, τ ) â R.                      (1.30)
                                       ∂t   t=τ
Ââîäÿ âìåñòî t íîâóþ âðåìåííóþ ïåðåìåííóþ t1 = t − τ , çàìå÷àåì, ÷òî
óíêöèÿ
                      w(x, t1, τ ) ≡ v(x, t1 + τ, τ )          (1.31)
ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåé çàäà÷è Êîøè
    ∂ 2w     2
           2∂ w                             ∂w
       2 =a     â R × (0, ∞), w|t   =0 = 0,                                = f (x, τ ) â R.
    ∂t1     ∂x2                   1
                                            ∂t1                    t1 =0

   òàêîì ñëó÷àå óíêöèÿ w ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ñ ïîìîùüþ îð-
ìóëû (1.13), ïðèíèìàþùåé â äàííîì ñëó÷àå âèä
                                   x+at
                                    Z 1
                           1
           w(x, t1, τ ) =                  f (ξ, τ )dξ, x ∈ R, 0 ≤ t1 < ∞.               (1.32)
                          2a
                                  x−at1

Äëÿ ñïðàâåäëèâîñòè ýòîé îðìóëû äîñòàòî÷íî ïðåäïîëîæèòü ñîãëàñíî òåî-
ðåìå 1.1, ÷òî f ∈ C 0 (R2+ ), ∂f /∂x ∈ C 0 (R2+ ). Âîçâðàùàÿñü ê èñõîäíûì ïå-
ðåìåííûì t è v , ïåðåïèøåì (1.32) â âèäå
                                x+a(t−τ
                                  Z )
                           1
            v(x, t, τ ) =                  f (ξ, τ )dξ, x ∈ R, τ ≤ t < ∞.                (1.33)
                          2a
                               x−a(t−τ )

  Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî óíêöèÿ u : R2+ → R, îïðåäåëÿåìàÿ îðìóëîé
                        Zt                          Zt   x+a(t−τ
                                                           Z )
                                                1
            u(x, t) ≡        v(x, t, τ )dτ =                       f (ξ, τ )dξdτ,        (1.34)
                                               2a
                        0                            0 x−a(t−τ )

                                             183

Страницы