Классические методы математической физики - 181 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

ε > 0 T > 0 δ =
δ(ε, T ) > 0
|ϕ
1
(x) − ϕ
2
(x)| < δ |ψ
1
(x) − ψ
2
(x)| < δ
∀x ∈ R
|u
1
(x, t) − u
2
(x, t)| < ε ∀(x, t) ∈ Q
T
≡ R × [0, T ].
u
1
u
2
(ϕ
1
, ψ
1
) (ϕ
2
, ψ
2
)
|u
1
(x, t) − u
2
(x, t)| ≤
1
2
|ϕ
1
(x − at) − ϕ
2
(x − at)|+
+
1
2
|ϕ
1
(x + at) − ϕ
2
(x + at)| +
1
2a
x+at
Z
x−at
|ψ
1
(ξ) − ψ
2
(ξ)|dξ <
<
1
2
δ +
1
2
δ +
1
2a
x+at
Z
x−at
δdξ = δ + δt ≤ δ(1 + T ) ∀(x, t) ∈
Q
T
.
δ = ε/(1 + T )
ϕ ψ
ϕ ψ
ϕ ∈ C
1
(R), ψ ∈ C
0
(R). (1.14a)
{ϕ
n
} ∈ C
2
(R)
{ψ
n
} ∈ C
1
(R) ϕ ψ
u
n
(ϕ
n
, ψ
n
)
u
n+k
−u
n
{ϕ
n
} {ψ
n
} ε > 0 T > 0
N n > N k
|ϕ
n+k
(x) − ϕ
n
(x)| <
ε
1 + T
, |ψ
n+k
(x) − ψ
n
(x)| <
ε
1 + T
∀x ∈ R.
|u
n+k
(x, t) − u
n
(x, t)| < ε ∀(x, t) ∈ Q
T
, n > N, k = 1, 2, ... .
Òîãäà äëÿ ëþáûõ ÷èñåë ε > 0 è T > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî δ =
δ(ε, T ) > 0, ÷òî èç íåðàâåíñòâ |ϕ1(x) − ϕ2(x)| < δ , |ψ1 (x) − ψ2 (x)| < δ
∀x ∈ R ñëåäóåò íåðàâåíñòâî
             |u1 (x, t) − u2(x, t)| < ε ∀(x, t) ∈ QT ≡ R × [0, T ].
  Äîêàçàòåëüñòâî.        Çàïèñàâ ðåøåíèÿ u1 è u2 â âèäå (1.13) ÷åðåç èñõîä-
íûå äàííûå (ϕ1 , ψ1 ) è (ϕ2 , ψ2 ) ñîîòâåòñòâåííî è âû÷èòàÿ, èìååì
                                    1
            |u1(x, t) − u2 (x, t)| ≤ |ϕ1 (x − at) − ϕ2(x − at)|+
                                    2
                                             x+at
          1                                1
                                             Z
         + |ϕ1(x + at) − ϕ2(x + at)| +           |ψ1 (ξ) − ψ2(ξ)|dξ <
          2                               2a
                                             x−at
                          x+at
         1  1    1
                          Z
        < δ+ δ+                 δdξ = δ + δt ≤ δ(1 + T ) ∀(x, t) ∈ QT .
         2  2   2a
                         x−at
Ïîëàãàÿ çäåñü δ = ε/(1 + T ), ïðèõîäèì ê óòâåðæäåíèþ òåîðåìû. Ñîäåð-
æàíèå òåîðåìû 1.2 êðàòêî ìîæíî âûðàçèòü òàê: ìàëûì èçìåíåíèÿì íà-
÷àëüíûõ äàííûõ çàäà÷è Êîøè (1.1), (1.10) îòâå÷àþò ìàëûå èçìåíåíèÿ
ðåøåíèÿ.
    ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷àõ íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ ïîëó÷àþòñÿ â ðåçóëüòàòå
èçìåðåíèé è, ñëåäîâàòåëüíî, íå ÿâëÿþòñÿ òî÷íûìè. Èç òåîðåìû 1.2 âûòåêà-
åò âàæíûé äëÿ ïðàêòèêè âûâîä î òîì, ÷òî ìàëûå ïîãðåøíîñòè â íà÷àëüíûõ
äàííûõ ïðèâîäÿò ê ìàëûì èçìåíåíèÿì â ðåøåíèè çàäà÷è Êîøè. Ýòà òåî-
ðåìà óêàçûâàåò òàêæå íà îäèí èç âîçìîæíûõ ïóòåé ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèÿ
çàäà÷è Êîøè â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà íà÷àëüíûå óíêöèè ϕ è ψ íå îáëàäàþò
äîñòàòî÷íîé ãëàäêîñòüþ. àññìîòðèì äëÿ îïðåäåëåííîñòè ñëó÷àé, êîãäà
íà÷àëüíûå óíêöèè ϕ è ψ èìåþò êîíå÷íûå íîñèòåëè, ïðè÷åì
                           ϕ ∈ C 1(R), ψ ∈ C 0(R).                          (1.14a)
Ïîñòðîèì äëÿ óêàçàííûõ óíêöèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {ϕn } ∈ C 2 (R) è
{ψn } ∈ C 1(R), ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèåñÿ ñîîòâåòñòâåííî ê ϕ è ψ . Îáîçíà÷èì
÷åðåç un ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (1.1), (1.10), îòâå÷àþùåå ïàðå (ϕn, ψn).
   Îöåíèì ðàçíîñòü un+k − un. Â ñèëó ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòåé {ϕn } è {ψn } äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ÷èñåë ε > 0 è T > 0 íàéäåòñÿ
òàêîå N , ÷òî äëÿ ëþáûõ n > N è öåëûõ ïîëîæèòåëüíûõ k
                             ε                           ε
      |ϕn+k (x) − ϕn (x)| <     , |ψn+k (x) − ψn (x)| <     ∀x ∈ R.
                            1+T                         1+T
Òîãäà â ñèëó òåîðåìû 1.2 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
       |un+k (x, t) − un(x, t)| < ε ∀(x, t) ∈ QT , n > N, k = 1, 2, ... .

                                       181

Страницы