Классические методы математической физики - 176 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

[x
1
, x
2
]
u (x
0
, t
0
)
[x
1
, x
2
]
[x
1
, x
2
]
(−α, α)
ϕ(x) = 0 (−α, α), ψ(x) ≡ 0 R.
u(x, t) =
ϕ(x − at) + ϕ(x + at)
2
.
u
a
(1/2) ϕ(x)
x > α (−α, α)
[0, ∞)
1) 0 ≤ t ≤ t
1
=
x − α
a
; 2) t
1
< t < t
2
=
x + α
a
; 3) t
2
≤ t < ∞.
x
2
= α u(x, t) ≡ 0
0 ≤ t ≤ t
1
{(−α, α) , ϕ}
x u(x, t) 6≡ 0
t
1
< t < t
2
(t
1
, t
2
)
t x
t
1
x
u(x, t) ≡ 0 t ≥ t
2
ϕ t
2
x
t
2
x
x < −α (−α, α)
u(x, t) ≡ 0 0 ≤ t ≤ t
1
=
−α − x
a
,
   Íà÷àëüíûå äàííûå, çàäàííûå âíå [x1 , x2 ], íå îêàçûâàþò âëèÿíèÿ íà çíà-
÷åíèå ðåøåíèÿ u â òî÷êå (x0 , t0 ). Åñëè íà÷àëüíûå óñëîâèÿ çàäàíû íå íà
âñåé áåñêîíå÷íîé ïðÿìîé, à ëèøü íà îòðåçêå [x1 , x2 ], òî îíè îäíîçíà÷íî
îïðåäåëÿþò ðåøåíèå âíóòðè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî òðåóãîëüíèêà, îñíîâàíè-
åì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ îòðåçîê [x1, x2 ].
    çàêëþ÷åíèå ýòîãî ïóíêòà ðàññìîòðèì áîëåå äåòàëüíî äâà ÷àñòíûõ ñëó-
÷àÿ â çàäà÷å Êîøè (1.1), (1.10).
   1) Íà÷àëüíûå ñêîðîñòè òî÷åê ñòðóíû ðàâíû íóëþ, à íà÷àëüíîå îòêëî-
íåíèå èìååò ìåñòî ëèøü â êîíå÷íîì èíòåðâàëå (−α, α) ñòðóíû, ò. å.
                ϕ(x) = 0    âíå   (−α, α), ψ(x) ≡ 0 â R.                (1.18)
åøåíèå (1.13) ïðèíèìàåò âèä
                                  ϕ(x − at) + ϕ(x + at)
                      u(x, t) =                         .               (1.19)
                                            2
Èç (1.19) ñëåäóåò, ÷òî ðåøåíèå u ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó äâóõ âîëí, ðàñ-
ïðîñòðàíÿþùèõñÿ âïðàâî è âëåâî ñî ñêîðîñòüþ a, ïðè÷åì íà÷àëüíàÿ îðìà
îáåèõ âîëí îïðåäåëÿåòñÿ óíêöèåé (1/2)ϕ(x), ðàâíîé ïîëîâèíå íà÷àëüíîãî
ñìåùåíèÿ.
    Äàäèì èçè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ðåøåíèÿ (1.19). àññìîòðèì òî÷êó
x > α, ëåæàùóþ ïðàâåå èíòåðâàëà (−α, α). àçîáüåì èíòåðâàë âðåìåíè
[0, ∞) íà òðè:
                        x−α                        x+α
        1) 0 ≤ t ≤ t1 =       ; 2) t1 < t < t2 =       ; 3) t2 ≤ t < ∞.
                           a                        a
Èç (1.18) è (1.19), à òàêæå ðèñ.1.1à ïðè x2 = α ñëåäóåò, ÷òî u(x, t) ≡ 0 ïðè
0 ≤ t ≤ t1 .  èçè÷åñêîì ïëàíå ýòî ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü òàê, ÷òî âîë-
íà, âîçáóæäåííàÿ íà÷àëüíûì âîçìóùåíèåì  ïàðîé {(−α, α), ϕ}, åùå íå
äîøëà äî òî÷êè x. Òî÷íî òàê æå èç (1.18) è (1.19) ñëåäóåò, ÷òî u(x, t) 6≡ 0
ïðè t1 < t < t2 . Ôèçè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â òå÷åíèå èíòåðâàëà (t1 , t2 )
âðåìåíè t òî÷êà x ñòðóíû ñîâåðøàåò êîëåáàíèÿ îêîëî ïîëîæåíèÿ ñâîåãî
ðàâíîâåñèÿ, è, ñëåäîâàòåëüíî, çíà÷åíèå t1 â èçè÷åñêîì ïëàíå ïðåäñòàâëÿ-
åò ñîáîé ìîìåíò, êîãäà âîëíà äîõîäèò äî òî÷êè x, ò. å., êàê ãîâîðÿò èçè-
êè, ìîìåíò ïðîõîæäåíèÿ ïåðåäíåãî ðîíòà ïðÿìîé âîëíû. Íàêîíåö, â ñèëó
(1.18), (1.19) èìååì, ÷òî u(x, t) ≡ 0 ïðè t ≥ t2 . Ôèçè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
âîëíà, âîçáóæäåííàÿ íà÷àëüíûì îòêëîíåíèåì ϕ, ïðîøëà â ìîìåíò t2 òî÷êó
x, îñòàâèâ ïîñëå ñåáÿ íåâîçìóùåííîå ñîñòîÿíèå. Ñëåäîâàòåëüíî, çíà÷åíèå
t2 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìîìåíò ïðîõîæäåíèÿ çàäíåãî ðîíòà ïðÿìîé âîëíû
÷åðåç òî÷êó x.
    Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ, ïðîâåäåííûå äëÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷êè ñòðó-
íû x < −α, ëåæàùåé ëåâåå èíòåðâàëà (−α, α), ïîêàçûâàþò, ÷òî
                                                     −α − x
                   u(x, t) ≡ 0 ïðè 0 ≤ t ≤ t1 =             ,
                                                        a
                                     176

Страницы