Классические методы математической физики - 174 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

C
l
(R) R → R
l
u
ϕ = 0 ψ = 0
u = 0
u ∈ C
2
(R
2
+
) ∩ C
1
(R
2
+
)
u
ϕ ψ
θ
1
θ
2
∂
2
u/∂t
2
∂
2
u/∂x
2
R
2
+
(x
0
, t
0
) ∈ R
2
+
x − at = x
0
− at
0
x + at = x
0
+ at
0
,
(Çäåñü è íèæå C l (R) îáîçíà÷àåò êëàññ óíêöèé: R → R, íåïðåðûâíûõ
âìåñòå ñî âñåìè ïðîèçâîäíûìè äî ïîðÿäêà l âêëþ÷èòåëüíî.)
   Èòàê, ïðåäïîëîæèâ ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ u çàäà÷è Êîøè (1.1), (1.10),
ìû ïîêàçàëè, ÷òî îíî äîëæíî ïðåäñòàâëÿòüñÿ îðìóëîé (1.13). Îòñþäà, â
÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî íóëåâûì íà÷àëüíûì äàííûì ϕ = 0, ψ = 0 îòâå÷àåò
ëèøü òðèâèàëüíîå ðåøåíèå u = 0. Ïîñëåäíåå ýêâèâàëåíòíî â ñèëó ëèíåé-
íîñòè óðàâíåíèÿ (1.1) åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (1.1), (1.10).
Ïîñòðîèâ ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè â âèäå (1.13), ìû òåì ñàìûì äîêàçàëè åãî
ñóùåñòâîâàíèå. Ñîðìóëèðóåì ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò â âèäå òåîðåìû.
   Òåîðåìà 1.1. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (1.14). Òîãäà êëàññè÷åñêîå

ðåøåíèå u ∈ C 2 (R2+ ) ∩ C 1 (R2+ ) çàäà÷è Êîøè (1.1), (1.10) ñóùåñòâóåò,
åäèíñòâåííî è îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé (1.13).
   Èçëîæåííûé âûøå ìåòîä ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (1.1), (1.10)
íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ âîëí èëè ìåòîäîì õàðàêòåðè-
ñòèê.
   Çàìå÷àíèå 1.2. Ïî àíàëîãèè ñ òåîðèåé îáûêíîâåííûõ äèåðåíöè-
àëüíûõ óðàâíåíèé ÷àñòíûì ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1.1) ìîæíî íàçâàòü òî
åãî ðåøåíèå u, êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò íà÷àëüíûì óñëîâèÿì (1.10) ïðè êîí-
êðåòíûõ óíêöèÿõ ϕ è ψ . Òîãäà òîò àêò, ÷òî ëþáîå ÷àñòíîå ðåøåíèå
óðàâíåíèÿ (1.1) ìîæíî ïîëó÷èòü èç îðìóëû (1.3) ïðè íàäëåæàùåì âûáî-
ðå óíêöèé θ1 è θ2 îçíà÷àåò, ÷òî îðìóëà (1.3) îïèñûâàåò îáùåå ðåøåíèå
óðàâíåíèÿ (1.1).
   Çàìå÷àíèå 1.3. Ïðîñòîé àíàëèç îðìóëû (1.13) ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè
âûïîëíåíèè óñëîâèé (1.14) îáå ïðîèçâîäíûå ∂ 2 u/∂t2 è ∂ 2 u/∂x2, âõîäÿùèå
â óðàâíåíèå (1.1), íåïðåðûâíû â çàìêíóòîé îáëàñòè R2+ . Òàêèì îáðàçîì,
ïîñòðîåííîå íàìè ðåøåíèå (1.13) îáëàäàåò äàæå á  îëüøåé ãëàäêîñòüþ, ÷åì
ýòî òðåáóåòñÿ â îïðåäåëåíèè êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (1.1), (1.10).
×òîáû îòëè÷èòü (ïî ñâîéñòâó ãëàäêîñòè) ïîñòðîåííîå ðåøåíèå îò êëàññè-
÷åñêîãî ðåøåíèÿ, äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ïåðâîãî ðåøåíèÿ áóäåì èñïîëüçîâàòü
çäåñü è íèæå ââåäåííûé â ï. 2.3. ãë. 2 òåðìèí ðåãóëÿðíîå ðåøåíèå.
   Ìû áóäåì òàêæå ðàññìàòðèâàòü ðåøåíèÿ, îáëàäàþùèå ìåíüøåé ãëàä-
êîñòüþ, ÷åì óêàçàíî â îïðåäåëåíèè êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ. Íà òàêèå ðå-
øåíèÿ áóäåì ññûëàòüñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ìàòåðèàëàìè ï. 1.5 ãë. 2 êàê íà
îáîáùåííûå ðåøåíèÿ. Îïðåäåëåíèå îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ èãðàåò âàæíóþ
ðîëü â ñîâðåìåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêå. Ïåðâîå óïîìèíàíèå îá îáîá-
ùåííûõ ðåøåíèÿõ ïðèìåíèòåëüíî ê çàäà÷å Êîøè (1.1), (1.10) áóäåò ñäåëàíî
óæå â ï. 1.3 íèæå.
   Èññëåäóåì íåêîòîðûå ñâîéñòâà îáùåãî ðåøåíèÿ (1.3) è ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ
(1.13) óðàâíåíèÿ (1.1). Ñ ýòîé öåëüþ ðàññìîòðèì èêñèðîâàííóþ òî÷êó
(x0, t0) ∈ R2+ è ïðîâåäåì èç íåå õàðàêòåðèñòèêè
                x − at = x0 − at0   è     x + at = x0 + at0 ,      (1.15)

                                    174

Страницы