Классические методы математической физики - 171 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u
1
= θ
1
(x), u
2
= θ
2
(x),
t = 0
at θ
1
(x) θ
2
(x)
t
R
2
x − at = const x + at = const
x − at =
const
x + at = const
θ
1
(x)
(x
1
, x
2
) x θ
1
θ
1
(x
1
, x
2
)
(x
1
, 0) (x
2
, 0)
Γ
′
1
= {(x, t) : t > 0, x − at = x
1
} Γ
′′
1
= {(x, t) : t > 0, x − at = x
2
}.
R
2
+
R
2
+
= R
x
× R
t,+
≡ {(x, t) : −∞ < x < ∞, t > 0},
Q
′
, Γ
′
1
, Q, Γ
′′
1
Q
′′
Q
′
= {( x, t) : x − at < x
1
} Q = {(x, t) : x
1
< x − at < x
2
}
Q
′′
= {(x, t) : x
2
< x − at}
R
2
+
≡ R
x
× {t ∈ R : t ≥ 0} = Q
′
∪ Γ
′
1
∪ Q ∪ Γ
′′
1
∪ Q
′′
.
R
t ≥ 0
R = D
′
(t) ∪ S
′
(t) ∪ D(t) ∪ S
′′
(t) ∪ D
′′
(t).
D
′
(t) S
′
(t) D(t) S
′′
(t) D
′′
(t) t
Q
′
Γ
′
1
Q Γ
′′
1
Q
′′
θ
1
u
1
Q
Ñòðîèì êðèâûå
                            u1 = θ1(x), u2 = θ2 (x),                          (1.6)
îïèñûâàþùèå ïðîèëè ïðÿìîé è îáðàòíîé âîëí â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðå-
ìåíè t = 0, è çàòåì ïåðåäâèãàåì èõ îäíîâðåìåííî áåç èçìåíåíèÿ îðìû
íà ðàññòîÿíèå at â ðàçíûå ñòîðîíû: êðèâóþ θ1 (x)  âïðàâî, à êðèâóþ θ2 (x)
 âëåâî. ×òîáû ïîëó÷èòü òåïåðü ãðàèê ñòðóíû â óêàçàííûé ìîìåíò t,
äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü àëãåáðàè÷åñêèå ñóììû îðäèíàò ñäâèíóòûõ êðèâûõ.
   Ôîðìóëà (1.3) ïîçâîëÿåò âûÿâèòü ðÿä âàæíûõ ñâîéñòâ ðåøåíèÿ âîëíîâî-
ãî óðàâíåíèÿ (1.1). Äëÿ àíàëèçà óêàçàííûõ ñâîéñòâ óäîáíî âîñïîëüçîâàòü-
ñÿ ïëîñêîñòüþ R2 , êîòîðóþ íàçûâàþò ïëîñêîñòüþ ñîñòîÿíèé èëè àçîâîé
ïëîñêîñòüþ. Ïðåæäå âñåãî íàïîìíèì (ñì. ãë. 2), ÷òî ïðÿìûå
                      x − at = const      è    x + at = const                 (1.7)
ÿâëÿþòñÿ õàðàêòåðèñòèêàìè óðàâíåíèÿ (1.1) ñîîòâåòñòâåííî ïåðâîãî ëèáî
âòîðîãî ñåìåéñòâà. Èç ïðèâåäåííûõ âûøå ðåçóëüòàòîâ ñëåäóåò, ÷òî óíê-
öèÿ (1.4) ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå âäîëü õàðàêòåðèñòèêè x − at =
const, òîãäà êàê óíêöèÿ (1.5) îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé âäîëü õàðàêòåðèñòèêè
x + at = const.
   Ïðåäïîëîæèì, ÷òî θ1 (x) îòëè÷íà îò íóëÿ â êàæäîé òî÷êå èíòåðâàëà
(x1, x2) îñè x è ðàâíà íóëþ âíå ýòîãî èíòåðâàëà. Òàêóþ óíêöèþ θ1 íàçû-
âàþò èíèòíîé ñ íîñèòåëåì suppθ1 , ñîñðåäîòî÷åííûì â èíòåðâàëå (x1 , x2 ).
Ïðîâåäåì ÷åðåç òî÷êè (x1 , 0) è (x2 , 0) õàðàêòåðèñòèêè ïåðâîãî ñåìåéñòâà
  Γ′1 = {(x, t) : t > 0, x − at = x1} è Γ′′1 = {(x, t) : t > 0, x − at = x2}. (1.8)

Îíè ðàçáèâàþò çàìêíóòóþ ïîëóïëîñêîñòü R2+ , ãäå

              R2+ = Rx × Rt,+ ≡ {(x, t) : −∞ < x < ∞, t > 0},
íà ïÿòü íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ: Q′ , Γ′1 , Q, Γ′′1 è Q′′ (ñì. ðèñ. 1.1à),
ãäå Q′ = {(x, t) : x − at < x1 }, Q = {(x, t) : x1 < x − at < x2 },
Q′′ = {(x, t) : x2 < x − at}. Òàêèì îáðàçîì, ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå

            R2 + ≡ Rx × {t ∈ R : t ≥ 0} = Q′ ∪ Γ′1 ∪ Q ∪ Γ′′1 ∪ Q′′.          (1.9)
Óêàçàííîìó ïðåäñòàâëåíèþ ñîîòâåòñòâóåò ñëåäóþùåå ðàçáèåíèå ïðÿìîé R
â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè t ≥ 0:
                   R = D′ (t) ∪ S ′ (t) ∪ D(t) ∪ S ′′ (t) ∪ D′′ (t).
Çäåñü D′ (t), S ′ (t), D(t), S ′′(t) è D′′ (t) ñóòü ñå÷åíèÿ â ìîìåíò âðåìåíè t
ñîîòâåòñòâåííî îáëàñòåé Q′ , Γ′1 , Q, Γ′′1 è Q′′ â (1.9).
   Èç èíèòíîñòè óíêöèè θ1 è (1.4) ñëåäóåò, ÷òî óíêöèÿ u1 ìîæåò áûòü
îòëè÷íà îò íóëÿ ëèøü â îáëàñòè Q, â òî÷êàõ êîòîðîé âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå

                                         171

Страницы