Классические методы математической физики - 152 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

∂u
∂x
=
∂u
∂ξ
∂ϕ
∂x
+
∂u
∂η
∂ψ
∂x
,
∂u
∂y
=
∂u
∂ξ
∂ϕ
∂y
+
∂u
∂η
∂ψ
∂y
,
∂
2
u
∂x
2
=
∂
2
u
∂ξ
2
∂ϕ
∂x
2
+ 2
∂
2
u
∂ξ∂η
∂ϕ
∂x
∂ψ
∂x
+
∂
2
u
∂η
2
∂ψ
∂x
2
+
∂u
∂ξ
∂
2
ϕ
∂x
2
+
∂u
∂η
∂
2
ψ
∂x
2
,
∂
2
u
∂x∂y
=
∂
2
u
∂ξ
2
∂ϕ
∂x
∂ϕ
∂y
+
∂
2
u
∂ξ∂η
∂ϕ
∂x
∂ψ
∂y
+
∂ϕ
∂y
∂ψ
∂x
+
∂
2
u
∂η
2
∂ψ
∂x
∂ψ
∂y
+
∂u
∂ξ
∂
2
ϕ
∂x∂y
+
∂u
∂η
∂
2
ψ
∂x∂y
,
∂
2
u
∂y
2
=
∂
2
u
∂ξ
2
∂ϕ
∂y
2
+2
∂
2
u
∂ξ∂η
∂ϕ
∂y
∂ψ
∂y
+
∂
2
u
∂η
2
∂ψ
∂y
2
+
∂u
∂ξ
∂
2
ϕ
∂y
2
+
∂u
∂η
∂
2
ψ
∂y
2
.
A
∂
2
u
∂ξ
2
+ 2
B
∂
2
u
∂ξ∂η
+
C
∂
2
u
∂η
2
+
F (ξ, η, u,
∂u
∂ξ
,
∂u
∂η
) = 0,
A B C ξ η
A = A
∂ϕ
∂x
2
+2B
∂ϕ
∂x
∂ϕ
∂y
+C
∂ϕ
∂y
2
,
C = A
∂ψ
∂x
2
+2B
∂ψ
∂x
∂ψ
∂y
+C
∂ψ
∂y
2
,
B = A
∂ϕ
∂x
∂ψ
∂x
+ B
∂ϕ
∂x
∂ψ
∂y
+
∂ϕ
∂y
∂ψ
∂x
+ C
∂ϕ
∂y
∂ψ
∂y
.
F
ϕ ψ
A C B
(x
0
, y
0
) ∈ Ω A C
z
A
∂z
∂x
2
+ 2B
∂z
∂x
∂z
∂y
+ C
∂z
∂y
2
= 0.
A, B
C C
2
(x
0
, y
0
)
A 6= 0
B 6= 0 C 6= 0 C 6= 0
x y A 6= 0 C ≡ 0
B 6= 0 x
′
= x+y y
′
= x−y
A 6= 0
  Ïðåîáðàçóÿ ïðîèçâîäíûå ê íîâûì ïåðåìåííûì, ïîëó÷èì
                 ∂u ∂u ∂ϕ ∂u ∂ψ ∂u ∂u ∂ϕ ∂u ∂ψ
                    =        +        ,     =        +        ,
                 ∂x   ∂ξ ∂x ∂η ∂x ∂y           ∂ξ ∂y ∂η ∂y
                 2                           2
    ∂ 2u ∂ 2u ∂ϕ            ∂ 2u ∂ϕ ∂ψ ∂ 2u ∂ψ          ∂u ∂ 2ϕ ∂u ∂ 2ψ
         = 2           +2               +             +         +        ,
    ∂x2     ∂ξ    ∂x       ∂ξ∂η ∂x ∂x ∂η 2 ∂x           ∂ξ ∂x2 ∂η ∂x2
 ∂ 2u     ∂ 2u ∂ϕ ∂ϕ ∂ 2u ∂ϕ ∂ψ ∂ϕ ∂ψ
                                               2
                                                 ∂ u ∂ψ ∂ψ ∂u ∂ 2ϕ ∂u ∂ 2ψ
                            
        = 2         +               +          + 2         +         +        ,
∂x∂y      ∂ξ ∂x ∂y ∂ξ∂η ∂x ∂y           ∂y ∂x    ∂η ∂x ∂y ∂ξ ∂x∂y ∂η ∂x∂y
               2                           2
 ∂ 2u ∂ 2u ∂ϕ            ∂ 2u ∂ϕ ∂ψ ∂ 2u ∂ψ          ∂u ∂ 2ϕ ∂u ∂ 2ψ
       = 2           +2              +             +        +        . (3.18)
 ∂y 2    ∂ξ     ∂y      ∂ξ∂η ∂y ∂y ∂η 2 ∂y           ∂ξ ∂y 2 ∂η ∂y 2
Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõ èç (3.18) â (3.14), ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ

                ∂ 2u       ∂ 2u     ∂ 2u               ∂u ∂u
            A        + 2B       + C      + F (ξ, η, u,   , ) = 0,     (3.19)
                ∂ξ 2      ∂ξ∂η      ∂η 2               ∂ξ ∂η
ãäå êîýèöèåíòû A, B è C , çàâèñÿùèå îò ξ è η , îïðåäåëÿþòñÿ îðìóëàìè
        2                  2             2                   2
        ∂ϕ       ∂ϕ ∂ϕ        ∂ϕ               ∂ψ        ∂ψ ∂ψ      ∂ψ
A=A         +2B        +C           , C=A            +2B       +C        ,
        ∂x       ∂x ∂y        ∂y                ∂x       ∂x ∂y      ∂y
                                               
                  ∂ϕ ∂ψ         ∂ϕ ∂ψ ∂ϕ ∂ψ           ∂ϕ ∂ψ
           B=A          +B            +           +C        .     (3.20)
                  ∂x ∂x         ∂x ∂y   ∂y ∂x         ∂y ∂y
ßâíîå âûðàæåíèå F íàñ íå èíòåðåñóåò.
   Ïîïûòàåìñÿ âûáðàòü óíêöèè ϕ è ψ â (3.16) òàê, ÷òîáû îáðàòèòü íåêî-
òîðûå èç êîýèöèåíòîâ A, C , B â íóëü õîòÿ áû â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè
òî÷êè (x0 , y0 ) ∈ Ω. ßñíî, ÷òî âîïðîñ îá îáðàùåíèè â íóëü A è C ýêâèâàëåí-
òåí âîïðîñó î ðàçðåøèìîñòè ñëåäóþùåãî íåëèíåéíîãî äèåðåíöèàëüíîãî
óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíîé óíêöèè z
                        2                    2
                         ∂z         ∂z ∂z       ∂z
                     A         + 2B        +C         = 0.            (3.21)
                         ∂x         ∂x ∂y       ∂y
 ñîîòâåòñòâèè ñ ââåäåííûì âûøå ïðåäïîëîæåíèåì êîýèöèåíòû A, B è
C ïðèíàäëåæàò êëàññó C 2 â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè (x0, y0) è íèãäå
â íåé íå îáðàùàþòñÿ îäíîâðåìåííî â íóëü. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ìîæíî
ñ÷èòàòü, ÷òî A 6= 0 â ýòîé îêðåñòíîñòè. Äåéñòâèòåëüíî, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå
äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ îäíî èç óñëîâèé B 6= 0 èëè C 6= 0. Åñëè C 6= 0, òî,
ìåíÿÿ ìåñòàìè x è y , ïîëó÷èì óðàâíåíèå, ó êîòîðîãî A 6= 0. Åñëè æå C ≡ 0,
è, ñëåäîâàòåëüíî, B 6= 0, òî ïîñëå çàìåíû ïåðåìåííûõ x′ = x+y è y ′ = x−y
ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ ñ A 6= 0.  äàëüíåéøåì áóäåì, áîëåå òîãî, ñ÷èòàòü,

                                      152

Страницы