Классические методы математической физики - 149 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

n
X
i,j=1
a
ij
t
i
t
j
,
t
i
=
n
X
k=1
c
ki
τ
k
, (i = 1, 2, ..., n),
n
X
k,l=1
a
kl
τ
k
τ
l
.
c
ki
n
X
k=1
λ
k
τ
2
k
.
λ
k
±1
λ
k
n
X
k=1
λ
k
∂
2
u
∂ξ
2
k
+
n
X
k=1
b
k
∂u
∂ξ
k
+ cu = f
1
(ξ
1
, ..., ξ
n
),
λ
k
u
u v
u = vex p
−
1
2
n
X
k=1
b
k
λ
k
ξ
k
!
.
n
X
k=1
λ
k
∂
2
v
∂ξ
2
k
+ c
1
v = f
2
(ξ
1
, ..., ξ
n
).
íûõ ïî îðìóëàì (3.2) ñîâïàäàþò ñ îðìóëàìè ïðåîáðàçîâàíèÿ êîýè-
öèåíòîâ êâàäðàòè÷íîé îðìû
                                       n
                                       X
                                              aij ti tj ,            (3.6)
                                      i,j=1

åñëè â íåé ïðîèçâåñòè ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå
                               n
                               X
                        ti =         cki τk , (i = 1, 2, ..., n),    (3.7)
                               k=1

ïðèâîäÿùåå åå ê âèäó
                                      n
                                      X
                                              akl τk τl .            (3.8)
                                      k,l=1

Êàê óæå óêàçûâàëîñü ⠟ 1, êîýèöèåíòû cki ìîæíî ïîäîáðàòü òàê, ÷òîáû
êâàäðàòè÷íàÿ îðìà (3.6) ïðèâåëàñü ê ñóììå êâàäðàòîâ âèäà
                                       n
                                       X
                                              λk τk2 .               (3.9)
                                        k=1

Çäåñü êîýèöèåíòû λk ðàâíû ±1 èëè íóëþ ñîîòâåòñòâåííî, ïðè÷åì çíà-
êè êîýèöèåíòîâ λk è îïðåäåëÿþò òèï óðàâíåíèÿ (3.1). Ïðåîáðàçîâàííîå
óðàâíåíèå (3.4) ïðèíèìàåò âèä
                n                n
                X       ∂ 2u X ∂u
                      λk 2 +  bk     + cu = f1 (ξ1, ..., ξn),       (3.10)
                        ∂ξk      ∂ξk
                k=1             k=1

êîòîðûé è ÿâëÿåòñÿ åãî êàíîíè÷åñêèì âèäîì.
   Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå λk îòëè÷íû îò íóëÿ, ò. å. ÷òî óðàâíåíèå (3.1)
íå ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëè÷åñêèì, è ïîêàæåì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ïðè ïîìîùè
ïðåîáðàçîâàíèÿ óíêöèè u ìîæíî îñâîáîäèòüñÿ îò ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî
ïîðÿäêà. Ñ ýòîé öåëüþ âìåñòî u ââåäåì íîâóþ èñêîìóþ óíêöèþ v ïî
îðìóëå
                                     n
                                             !
                                  1 X bk
                       u = vexp −          ξk .                (3.11)
                                  2     λk
                                                    k=1
Ïîäñòàâèâ (3.11) â (3.10), ïîëó÷èì, êàê íåòðóäíî ïðîâåðèòü, óðàâíåíèå âè-
äà
                        n
                      X      ∂ 2v
                           λk 2 + c1 v = f2 (ξ1, ..., ξn).
                             ∂ξk
                        k=1


                                              149

Страницы