Классические методы математической физики - 127 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

ϕ = 0
kuk
U
≤
√
akgk
G
.
kuk
U
≤ kϕk
H
+
√
akgk
G
+ kfk
F
.
g(t) 6= 0
u
(ϕ, g, f) γ ≥ 0 Q
γ ≥ 0
u
ϕ g f
u
kuk
2
E(t) = ku(·, t)k
2
H
u
u
i
(ϕ
i
, g
i
, f
i
) i = 1, 2
u
1
− u
2
ϕ
1
− ϕ
2
, g
1
− g
2
, f
1
− f
2
ku
1
− u
2
k
U
≤ kϕ
1
− ϕ
2
k
H
+
√
akg
1
− g
2
k
G
+ kf
1
− f
2
k
F
.
 ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà ϕ = 0, èç (2.47) ïðèõîäèì ê îöåíêå
                                    √
                           kukU ≤ akgkG .                               (2.48)
Èç (2.45) è (2.48) âûòåêàåò â ñèëó ëèíåéíîñòè çàäà÷è 2 íåðàâåíñòâî
                                     √
                      kukU ≤ kϕkH + akgkG + kf kF .                (2.49)
Îíî îáîáùàåò (2.45) íà ñëó÷àé, êîãäà g(t) 6= 0. Ñîðìóëèðóåì ïîëó÷åííûå
ðåçóëüòàòû â âèäå ëåììû.
   Ëåììà 2.2. Ïóñòü óíêöèÿ u ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíûì ðåøåíèåì çàäà÷è
2, îòâå÷àþùèì òðîéêå (ϕ, g, f ), è γ ≥ 0 â Q. Òîãäà ñïðàâåäëèâà îöåíêà
(2.49).
   Íåðàâåíñòâî (2.49) îçíà÷àåò, ÷òî ïðè γ ≥ 0 íîðìà ðåãóëÿðíîãî ðåøåíèÿ
u çàäà÷è 2 îãðàíè÷åíà ñâåðõó ïîñòîÿííîé, ðàâíîé ñóììå íîðì èñõîäíûõ
äàííûõ ϕ, g è f . Òàêèì îáðàçîì, (2.49) èãðàåò ðîëü ïðîñòåéøåé îöåíêè
íà ðåøåíèå u ñâåðõó, ïðè÷åì óêàçàííàÿ îöåíêà ïîëó÷åíà íå èç ïðåäñòàâëå-
íèÿ ðåøåíèÿ, à èñõîäÿ ëèøü èç ñâîéñòâ ñàìîãî óðàâíåíèÿ (2.41) è ïðåäïî-
ëîæåíèÿ î ñóùåñòâîâàíèè è íåïðåðûâíîé äèåðåíöèðóåìîñòè ðåøåíèÿ.
Îöåíêè òàêîãî òèïà, óñòàíàâëèâàþùèå ñîîòâåòñòâóþùóþ èíîðìàöèþ î
ðåøåíèè äî åãî íàõîæäåíèÿ, íàçûâàþòñÿ àïðèîðíûìè.  îòëè÷èå îò àïî-
ñòåðèîðíûõ îöåíîê, àïðèîðíûå îöåíêè èãðàþò âàæíóþ ðîëü â òåîðèè äè-
åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è èñïîëüçóþòñÿ, íàïðèìåð, äëÿ äîêàçàòåëüñòâà
ñóùåñòâîâàíèÿ, åäèíñòâåííîñòè è óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé êðàåâûõ çàäà÷.
Ïðè÷åì, ïîñêîëüêó ïðè ýòîì ñîâåðøåííî íå èñïîëüçóåòñÿ ÿâíîå ïðåäñòàâ-
ëåíèå ðåøåíèÿ, òî ñ ïîìîùüþ òàêîãî ïîäõîäà ìîæíî ïîëó÷àòü îöåíêè êàê
äëÿ óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûìè èëè ïåðåìåííûìè êîýèöèåíòàìè, òàê äà-
æå è äëÿ íåëèíåéíûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.
   Ìåòîä èññëåäîâàíèÿ êîððåêòíîñòè êðàåâûõ çàäà÷, îñíîâàííûé íà ïî-
ëó÷åíèè è èñïîëüçîâàíèè àïðèîðíûõ îöåíîê, íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì àïðè-
îðíûõ îöåíîê. Åãî òàêæå íàçûâàþò ìåòîäîì ýíåðãåòè÷åñêèõ íåðàâåíñòâ
èëè ïðîñòî ýíåðãåòè÷åñêèì ìåòîäîì. Ïîñëåäíåå íàçâàíèå ñâÿçàíî ñ òåì,
÷òî îöåíèâàåìàÿ âåëè÷èíà, â ÷àñòíîñòè, kuk2 , ÷àñòî èìååò ñìûñë ýíåð-
ãèè ðàññìàòðèâàåìîé èçè÷åñêîé ñèñòåìû. Õîòÿ â íàøåì ñëó÷àå òåðìèí
ýíåðãèÿ ñêîðåå íîñèò ìàòåìàòè÷åñêèé õàðàêòåð è îáîçíà÷àåò âåëè÷èíó
E(t) = ku(·, t)k2H , íåçàâèñèìî îò èçè÷åñêîãî ñìûñëà ïîñëåäíåé.
    ÷àñòíîñòè, èç îöåíêè (2.49) âûòåêàåò â ñèëó ëèíåéíîñòè çàäà÷è 2
åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ u è óñòîé÷èâîñòü åãî â âûáðàííûõ íîðìàõ. Äåé-
ñòâèòåëüíî, ïóñòü óíêöèè ui ÿâëÿþòñÿ ðåãóëÿðíûìè ðåøåíèÿìè çàäà-
÷è 2, îòâå÷àþùèìè òðîéêàì (ϕi, gi , fi) èñõîäíûõ äàííûõ, i = 1, 2. Òî-
ãäà ðàçíîñòü u1 − u2 ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíûì ðåøåíèåì, îòâå÷àþùèì òðîéêå
(ϕ1 − ϕ2 , g1 − g2 , f1 − f2 ). Ïîýòîìó â ñèëó ëåììû 2.2 ñïðàâåäëèâà îöåíêà
                                        √
        ku1 − u2kU ≤ kϕ1 − ϕ2 kH + akg1 − g2 kG + kf1 − f2kF .          (2.50)

                                     127

Страницы