Классические методы математической физики - 124 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

x = at
Q
m = 1
u
C
1
(Q)
u
1
u
2
u x = at
Q u
u
Q
Q
(0, t) (x, 0) Q
u
C
1
(Q)
C
1
(Q)
u
kuk
C(
Q)
≤ max(kϕk
C[0,l]
, kgk
C[0,T ]
) + T kfk
C(Q)
.
kϕk
C[0,l]
= max
x∈[0,l]
|ϕ(x)|, kgk
C[0,T ]
= max
t∈[0,T ]
|g(t)|, kfk
C(
Q)
= max
(x,t)∈
Q
|f(x, t)|.
f = 0 u
m ≤ u(x, t) ≤ M ∀(x, t) ∈ Q.
ñëóæàò äëÿ îáåñïå÷åíèÿ ñîîòâåòñòâåííî íåïðåðûâíîñòè è íåïðåðûâíîé äè-
åðåíöèðóåìîñòè óíêöèè (2.37) íà õàðàêòåðèñòèêå x = at, à ñëåäîâàòåëü-
íî, è âî âñåé îáëàñòè Q. Ýòî ñîñòàâëÿåò ñîäåðæàíèå ñëåäóþùåé ëåììû,
äîêàçàòåëüñòâî êîòîðîé ïðåäîñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ.
   Ëåììà 2.1. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (2.33) ïðè m = 1 è óñëî-
âèÿ ñîãëàñîâàíèÿ (2.38). Òîãäà óíêöèÿ u, îïðåäåëÿåìàÿ îðìóëîé (2.37),
ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó C 1 (Q).
   Èç ëåììû 2.1 è ñâîéñòâ óíêöèé u1 , u2 âûòåêàåò, â ñâîþ î÷åðåäü, ÷òî
óíêöèÿ u óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (2.31) è íà õàðàêòåðèñòèêå x = at,
à ñëåäîâàòåëüíî, è âñþäó â Q. Òàêèì îáðàçîì, óíêöèÿ u â (2.31) îáëà-
äàåò âñåìè ñâîéñòâàìè, âõîäÿùèìè â îïðåäåëåíèå êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ
çàäà÷è (2.31)-(2.32). Áîëåå òîãî, u íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìà è óäîâëå-
òâîðÿåò óðàâíåíèþ (2.31) íå òîëüêî â Q, êàê ýòî òðåáóåòñÿ â îïðåäåëåíèè
êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ, íî è âñþäó â Q, ò. å., êðîìå òîãî, è â ãðàíè÷íûõ
òî÷êàõ (0, t) è (x, 0) ìíîæåñòâà Q. Åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ ëåãêî äîêàçû-
âàåòñÿ ìåòîäîì îò ïðîòèâíîãî. Ñîðìóëèðóåì ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû â
âèäå òåîðåìû.
   Òåîðåìà 2.1. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ ëåììû 2.1. Òîãäà êëàñ-
ñè÷åñêîå ðåøåíèå u çàäà÷è 1 ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííî, ïðèíàäëåæèò
ïðîñòðàíñòâó C 1 (Q) è îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (2.35)-(2.37).
   Çàìå÷àíèå 2.2. Îòìåòèì, ÷òî ïîñòðîåííîå ñ ïîìîùüþ îðìóë (2.35)

(2.37) ðåøåíèå çàäà÷è 1 ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó C 1 (Q), ò. å. îáëàäàåò
áîëåå ãëàäêèìè ñâîéñòâàìè, ÷åì óêàçàíî â îïðåäåëåíèè êëàñè÷åñêîãî ðåøå-
íèÿ. Ñèòóàöèÿ, êîãäà ïîñòðîåííîå ðåøåíèå ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è ìàòå-
ìàòè÷åñêîé èçèêè îáëàäàåò áîëåå ãëàäêèìè ñâîéñòâàìè, ÷åì ïîëàãàåòñÿ
êëàññè÷åñêîìó ðåøåíèþ â ñîîòâåòñòâèè ñ åãî îïðåäåëåíèåì, áóäåò ÷àñòî
âñòðå÷àòüñÿ äàëåå ïðè ðàññìîòðåíèè äðóãèõ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé èçè-
êè. ×òîáû îòëè÷èòü áîëåå ãëàäêîå êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå îò ÷èñòî êëàñ-
ñè÷åñêîãî ðåøåíèÿ, íà ïåðâîå áóäåì îáû÷íî ññûëàòüñÿ êàê íà ðåãóëÿðíîå
ðåøåíèå.
   Èç (2.35)(2.37), â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ðåøåíèÿ u çàäà÷è 1 ñïðà-
âåäëèâà îöåíêà
               kukC(Q) ≤ max(kϕkC[0,l], kgkC[0,T ]) + T kf kC(Q) .         (2.39)

Çäåñü â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèÿìè ï. 1.3
 kϕkC[0,l] = max |ϕ(x)|, kgkC[0,T ] = max |g(t)|, kf kC(Q) = max |f (x, t)|.
            x∈[0,l]                    t∈[0,T ]                  (x,t)∈Q

Ïðè f = 0 ðåøåíèå u, êðîìå òîãî, ñîõðàíÿåòñÿ âäîëü õàðàêòåðèñòèê è
óäîâëåòâîðÿåò ÷èñòîìó ïðèíöèïó ìàêñèìóìà, à èìåííî:
                       m ≤ u(x, t) ≤ M ∀(x, t) ∈ Q.                        (2.40)

                                      124

Страницы