Классические методы математической физики - 121 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

t τ u
2
(x
0
, t
0
) (x, t)
Π[α, β] (x
0
, t
0
) (x, t)
u
2
(x, t) =
t
Z
0
f[x + a(τ − t), τ]dτ, (x, t) ∈ Π[α, β].
u
2
u
2
(x, 0) = 0 u
2
t
∂u
2
(x, t)
∂t
= −a
t
Z
0
f
y
[x + a(τ − t), τ)]dτ + f(x, t),
f
y
f
f
Π[α, β]
a
∂u
2
(x, t)
∂x
= a
t
Z
0
f
y
[x + a(τ − t), τ)]dτ.
∂u
2
(x, t)
∂t
+ a
∂u
2
(x, t)
∂x
= f (x, t).
u(x, t) = ϕ(x − at) +
t
Z
0
f[x + a(τ − t), τ]dτ, (x, t) ∈ Π[α, β]
f ϕ
u Π[α, β]
∂u
∂t
+ a
∂u
∂x
= f, u|
x=0
= g(t), t ∈ [c, d],
(Â ïîñëåäíåì èíòåãðàëå ìû èçìåíèëè äëÿ ïîñëåäóþùåãî óäîáñòâà ïåðå-
ìåííóþ èíòåãðèðîâàíèÿ t íà τ ). Ôîðìóëà (2.25) îïèñûâàåò ðåøåíèå u2 â
èêñèðîâàííîé òî÷êå (x0 , t0 ). Åñëè òåïåðü (x, t)  ïåðåìåííàÿ òî÷êà ïîëîñû
Π[α, β], òî, çàìåíÿÿ â (2.25) (x0, t0) íà (x, t), ïðèõîäèì ê îðìóëå
                           Zt
             u2 (x, t) =        f [x + a(τ − t), τ ]dτ, (x, t) ∈ Π[α, β].       (2.26)
                           0

    Èç ïîñòðîåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî óíêöèÿ u2 ÿâëÿåòñÿ èñêîìûì ðåøåíèåì
çàäà÷è Êîøè (2.23).  ýòîì ìîæíî óáåäèòüñÿ è íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåð-
êîé.  ñàìîì äåëå, î÷åâèäíî, ÷òî u2 (x, 0) = 0. Äèåðåíöèðóÿ äàëåå u2 ïî
t, èìååì
                            Zt
              ∂u2(x, t)
                        = −a fy [x + a(τ − t), τ )]dτ + f (x, t),
                 ∂t
                                     0
ãäå ÷åðåç fy îáîçíà÷åíà ïðîèçâîäíàÿ óíêöèè f ïî ïåðâîìó àðãóìåíòó. Ìû
ïðåäïîëàãàåì, êîíå÷íî, ÷òî îíà ñóùåñòâóåò è íåïðåðûâíà. Ýòî çàâåäîìî
èìååò ìåñòî, åñëè óíêöèÿ f çàäàíà è íåïðåðûâíî-äèåðåíöèðóåìà â
ïîëîñå Π[α, β]. Àíàëîãè÷íî
                                         Zt
                       ∂u2(x, t)
                   a             =a           fy [x + a(τ − t), τ )]dτ.
                         ∂x
                                         0

Ñêëàäûâàÿ ïîñëåäíèå äâà ðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì
                      ∂u2(x, t)    ∂u2(x, t)
                                +a           = f (x, t).
                         ∂t          ∂x
  Èç (2.26) è (2.21) ñëåäóåò, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (2.20), (2.6) èìååò
âèä
                                Zt
    u(x, t) = ϕ(x − at) +            f [x + a(τ − t), τ ]dτ, (x, t) ∈ Π[α, β]   (2.27)
                                0

ïðè óñëîâèè, êîíå÷íî, ÷òî f è ϕ ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíî-äèåðåíöèðóåìûìè
óíêöèÿìè. Ñ ïîìîùüþ ìåòîäà îò ïðîòèâíîãî ëåãêî ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî
ðåøåíèå u çàäà÷è (2.20), (2.6) åäèíñòâåííî â ïîëîñå Π[α, β]. Èçëîæåííûé
ìåòîä ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (2.20), (2.6) íîñèò íàçâàíèå ìåòîäà õàðàêòå-
ðèñòèê.
   Ïî àíàëîãè÷íîé ñõåìå ìåòîä õàðàêòåðèñòèê ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ
çàäà÷è Êîøè
                 ∂u      ∂u
                     +a     = f, u|x=0 = g(t), t ∈ [c, d],         (2.28)
                  ∂t     ∂x
                                              121

Страницы